Autores: Mar Serrano Maestro y Mario Ríos Almeida.

Introducción

Si escuchamos un sitar indio, una tambura o una biwa japonesa, percibimos inmediatamente que su sonido es muy diferente al de una guitarra occidental. Aunque todos ellos pertenecen a la familia de los instrumentos de cuerda, presentan un timbre inconfundible en el que destaca un característico zumbido que acompaña a cada nota.

Escuche durante unos segundos una grabación del sonido de una cuerda de guitarra, sitar, tambura o biwa e intente fijarse en las diferencias entre ellas. Mientras que la guitarra produce un sonido relativamente limpio, en los otros instrumentos aparece una resonancia vibrante y rica en armónicos que prolonga la percepción de la nota.

Sonidos de una cuerda de:
Guitarra (obtenido de freesound.org)

Sitar (obtenido de freesound.org)

Tambura (obtenido de freesound.org)

Biwa (obtenido de uresearch.rochester.edu)

Este fenómeno, conocido en la tradición musical india como jawari, es precisamente el que intentamos explicar mediante la física de las ondas y las simulaciones numéricas realizadas en el trabajo de Fin de Grado desarrollado por Mario Ríos Almeida y dirigido por Mar Serrano Maestro [1], ambos autores de este artículo.

Las grabaciones permiten apreciar cómo el sonido parece «abrirse» tras el ataque inicial y desarrollar una cola sonora especialmente rica en armónicos y fluctuaciones tímbricas. El resultado es un timbre brillante y complejo que constituye una de las señas de identidad de estos instrumentos.

¿De dónde procede este sonido? ¿Es una propiedad intrínseca de la cuerda? ¿Depende principalmente de la caja de resonancia? ¿O existe algún otro elemento responsable?

La respuesta se encuentra, en gran medida, en el puente sobre el que se apoya la cuerda. Lejos de ser una pieza pasiva, en muchos instrumentos orientales el puente participa activamente en la vibración y modifica de forma profunda el espectro sonoro generado. La superficie del puente no termina en un borde afilado, como ocurre habitualmente en una guitarra, sino que presenta una geometría suavemente curvada diseñada para prolongar el contacto con la cuerda. El estudio de este fenómeno se remonta al menos a los trabajos pioneros de C. V. Raman, quien investigó a comienzos del siglo XX las propiedades acústicas del sitar y otros instrumentos tradicionales de la India [2].

Mientras que en una guitarra la cuerda apenas interactúa con el puente una vez iniciada la vibración, en un puente jawari la cuerda experimenta una sucesión de contactos y separaciones con su superficie curvada. En la Fig. 1 se muestra el puente en estos dos instrumentos.

Desde el punto de vista físico, este contacto intermitente resulta especialmente interesante porque transforma un sistema esencialmente lineal, como es una cuerda ideal, en un sistema no lineal. Como consecuencia aparecen transferencias de energía entre armónicos, variaciones temporales del espectro y una notable riqueza tímbrica.

En este trabajo estudiamos esta interacción mediante simulaciones numéricas basadas en el método de guía de ondas digital, una técnica utilizada en acústica musical y en el modelado físico de instrumentos. Veremos que el característico zumbido del sitar, la tambura o la biwa no es un efecto secundario indeseado, sino la consecuencia directa de la geometría del puente y de la interacción no lineal que éste establece con la cuerda vibrante.

La cuerda vibrante: uno de los sistemas clásicos de la Física

La cuerda vibrante ocupa un lugar privilegiado en la historia de la Física y las Matemáticas. Durante el siglo XVIII, científicos como d’Alembert, Euler o Bernoulli desarrollaron las primeras teorías matemáticas capaces de describir la propagación de ondas en una cuerda sometida a tensión.

La descripción matemática de una cuerda ideal viene dada por la ecuación de ondas [3]
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
\nonumber
\end{equation} donde $u(x,t)$ representa el desplazamiento transversal de la cuerda y $c$ es la velocidad de propagación de las perturbaciones. Esta ecuación expresa que la aceleración de cada punto está relacionada con la curvatura local de la cuerda: cuanto más curvada se encuentra una región, mayor es la fuerza restauradora que tiende a devolverla a la posición de equilibrio.

La velocidad de propagación depende de dos propiedades físicas fundamentales: la tensión aplicada a la cuerda $T$ y su densidad lineal de masa $\mu$. En una cuerda ideal, $c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Por tanto, una cuerda más tensa transmite las perturbaciones más rápidamente, mientras que una cuerda más pesada vibra de forma más lenta.

Armónicos y timbre

Cuando una cuerda con ambos extremos fijos se aparta de su posición de equilibrio y se libera, aparecen perturbaciones que se propagan a lo largo de ella transportando energía. Al alcanzar los extremos, las ondas se reflejan continuamente, dando lugar a patrones de vibración característicos.

Para una cuerda de longitud $L$ las condiciones de extremos fijos son $u(0,t)=u(L,t)=0$ y limitan las formas de vibración posibles de la cuerda. Las soluciones estacionarias resultan ser
\begin{equation}
u(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t+\phi),
\end{equation} donde
\begin{equation}
k=\frac{n\pi}{L},
\qquad
\omega=\frac{n\pi c}{L},
\end{equation} siendo $n=1,2,3,\ldots$. Vemos que tanto $k$ como $\omega$ dependen del entero $n$: en realidad son $k_n$ y $\omega_n$. Así, se definen las frecuencias de oscilación $f_n$ como $f_n=\omega_n/(2\pi)$.

La frecuencia más baja con la que puede vibrar una cuerda recibe el nombre de frecuencia fundamental, viene dada por $f_1=c/(2L)$ y es la correspondiente al modo $n=1$. Se trata de una expresión sencilla que explica algunos hechos bien conocidos por músicos y constructores de instrumentos. Una cuerda más larga vibra más lentamente y produce un sonido más grave. Por el contrario, al aumentar su tensión, las ondas se propagan más deprisa, la frecuencia fundamental aumenta y el sonido se vuelve más agudo.

Sin embargo, una cuerda real rara vez vibra en un único modo. Al pulsarla se ponen en marcha simultáneamente otros modos de vibración, llamados armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos de la fundamental $f_n=nf_1$. La combinación de todos ellos es la responsable de la riqueza y personalidad del sonido de cada instrumento. La distribución de energía entre todos ellos determina el timbre del sonido.

Así, aunque una guitarra, un violín y un sitar interpreten exactamente la misma nota musical con idéntica frecuencia fundamental, el oído humano identifica sin dificultad al instrumento particular gracias a las diferencias en su timbre.

Como veremos más adelante, el característico zumbido del sitar, la tambura o la biwa no surge porque aparezcan nuevas frecuencias permitidas en la cuerda, sino porque la interacción con el puente modifica de forma continua la distribución de energía entre los armónicos durante la vibración.

Las ondas viajeras de d’Alembert y las guías de ondas digitales

La ecuación de ondas admite soluciones analíticas para sistemas ideales como la cuerda con extremos fijos. Sin embargo, cuando aparecen contactos, colisiones o restricciones geométricas complejas resulta necesario recurrir a métodos numéricos.

Uno de los resultados más elegantes de la teoría de ondas fue obtenido por d’Alembert en 1747. Su solución de la ecuación de ondas demuestra que la vibración de una cuerda puede describirse como la superposición de dos ondas viajeras independientes: una que se propaga hacia la derecha y otra hacia la izquierda. Matemáticamente, la solución general puede escribirse como
\begin{equation}
u(x,t)=u_r(x-ct)+u_l(x+ct),
\end{equation} donde $u_r$ y $u_l$ representan perturbaciones arbitrarias que se propagan sin deformarse con velocidad $c$ en sentidos opuestos. En particular, la perturbación $u_r(x-ct)$ se desplaza hacia la derecha (sentido positivo del eje $x$), mientras que $u_l(x+ct)$ se desplaza hacia la izquierda (sentido negativo).

Esta expresión posee una interpretación física muy intuitiva. Cuando se pulsa una cuerda, la deformación inicial no permanece localizada, sino que se divide inmediatamente en dos pulsos que comienzan a viajar hacia ambos extremos. Al alcanzar un extremo fijo, cada pulso se refleja y cambia su sentido de propagación, invirtiendo además el signo del desplazamiento.

La vibración observada en cualquier instante es el resultado de la superposición continua de todas estas ondas viajeras reflejadas. De hecho, las ondas estacionarias y los armónicos descritos en la sección anterior pueden interpretarse como patrones que emergen de esta permanente ida y vuelta de las perturbaciones a lo largo de la cuerda.

Una guía de ondas digital (Digital Waveguide) [4] es un método de simulación numérica que reproduce la propagación de ondas mediante líneas de retardo digitales y enlaza con la solución de d’Alembert vista anteriormente, es decir, la solución puede interpretarse como la suma de una onda que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda.

En lugar de resolver la ecuación de ondas en cada punto de la cuerda y en cada instante de tiempo, el método almacena computacionalmente estas dos ondas viajeras y simula cómo avanzan, se reflejan y se modifican al interactuar con distintos elementos del instrumento.

Para una cuerda con extremos fijos, la guía de ondas digital consiste esencialmente en dos líneas de retardo: una para la onda que se propaga hacia la derecha $u_r(x,t) $ y otra para la que se propaga hacia la izquierda $u_l(x,t)$. En cada extremo se aplican las condiciones de contorno mediante reflexiones adecuadas. El desplazamiento total de la cuerda en cualquier punto se obtiene sumando ambas contribuciones.

En una implementación computacional, la cuerda se representa mediante una colección discreta de puntos y la evolución temporal se calcula en pequeños intervalos de tiempo. En la implementación del modelo de guía de ondas digital la transmisión de las ondas viajeras es
\begin{equation}
u_r(x_n,t_m)=u_r(x_{n-1},t_{m-1}),\quad u_l(x_n,t_m)=u_l(x_{n+1},t_{m-1}),
\end{equation} y para cumplir las condiciones de contorno fijas en el nodo $0$ correspondiente al extremo fijo en $x=0$ y en el nodo $N$ correspondiente al extremo fijo en $x=L$ se debe cumplir
\begin{equation}
u_r(x_0,t_m)=-u_l(x_{1},t_{m-1}),\quad u_l(x_N,t_m)=-u_r(x_{N-1},t_{m-1}).
\end{equation} Durante la modelización del proceso, en cada paso temporal, dichas ondas avanzan, se reflejan en los extremos y vuelven a combinarse para obtener la forma de la cuerda pues siempre tendremos
\begin{equation}
u(x_n,t_m)=u_r(x_n,t_m)+u_l(x_n,t_m).
\end{equation}

Lo más interesante para nuestro caso es que elementos complejos, como los contactos no lineales con un puente del tipo jawari, pueden incorporarse a la guía de ondas como bloques adicionales o instrucciones que modifican las ondas cuando atraviesan determinadas posiciones. De esta forma, la interacción entre la cuerda y el puente puede modelarse sin necesidad de resolver toda la ecuación diferencial en cada paso temporal.

Simular una cuerda mediante una guía de ondas digital

Aunque para una cuerda ideal con extremos fijos es posible obtener soluciones analíticas mediante la ecuación de ondas y las series de Fourier, muchos problemas de interés práctico son demasiado complejos para resolverse de forma exacta.

Desde el punto de vista computacional, el método de la guía de ondas resulta especialmente eficiente y sencillo, ya que basta con desplazar los pulsos una pequeña distancia en cada paso temporal y aplicar las condiciones de contorno correspondientes. Permite incorporar de forma sencilla efectos más complejos como es el caso de la interacción entre una cuerda y un puente de geometría arbitraria.

El efecto de la interacción de la cuerda con el puente

En los instrumentos occidentales el puente actúa principalmente como soporte y transmisor de vibraciones. Sin embargo, diversos instrumentos orientales emplean puentes especialmente diseñados para interaccionar con la cuerda.

Cuando la amplitud de la oscilación es suficientemente grande, la cuerda entra en contacto con el puente durante parte de su movimiento. A partir de ese instante deja de comportarse como una cuerda ideal y aparece una interacción no lineal. Pequeñas variaciones en la geometría del puente pueden producir cambios significativos en la respuesta acústica.

La interacción entre cuerdas y soportes no lineales ha sido estudiada mediante diferentes modelos físicos por Kartofelev y Stulov [5, 6]. Para estudiar estos efectos se analizan tres geometrías inspiradas en esos trabajos previos sobre instrumentos orientales (véanse los tres casos en la Fig. 2). El caso 1 es un puente lineal con borde afilado, el caso 2 es un puente lineal con borde curvo y el caso 3, el más complejo, es un puente con una imperfección geométrica y borde curvo.

Uno de los resultados más interesantes debido a la presencia del puente es la aparición de dos regímenes claramente diferenciadas en la oscilación de un punto de observación de la cuerda (véase como ejemplo la Fig.3.

1. Régimen transitorio
   Inicialmente un régimen transitorio: Nada más comenzar la vibración, la cuerda impacta repetidamente contra el puente. Durante esta fase la señal no es periódica y la amplitud cambia progresivamente. Cuanto más compleja es la geometría del puente, más se prolonga este régimen.
2. Régimen estacionario
   Posteriormente un régimen estacionario: Tras el transitorio, el sistema evoluciona hacia un estado casi periódico. La frecuencia fundamental se mantiene prácticamente constante, aunque la forma de la oscilación difiere claramente de la correspondiente a una cuerda ideal.

En la Fig. 4 se presenta la respuesta de la cuerda en el punto de observación para el caso de ausencia o existencia de puente en el extremo, en el régimen estacionario (tras el transitorio). En ausencia de puente, la oscilación es periódica con forma armónica. La incorporación del puente modifica principalmente la respuesta durante la fase negativa de la oscilación. Mientras que la señal sin puente mantiene un comportamiento aproximadamente sinusoidal y simétrico, la señal con puente presenta una limitación o recorte de los desplazamientos negativos, generando una forma de onda asimétrica con tramos lineales y una región de saturación o meseta horizontal. La respuesta positiva permanece prácticamente inalterada, lo que indica que el efecto del puente actúa principalmente restringiendo el movimiento en una sola dirección.

Dos paradigmas de excitación de la cuerda

La forma en que se pone en vibración una cuerda influye decisivamente en el sonido resultante. En este trabajo consideramos dos mecanismos de excitación idealizados que representan situaciones habituales en los instrumentos musicales.

Aunque el modelo de deformación inicial resulta adecuado para describir el punteo característico de instrumentos como la guitarra, el sitar o la tambura, algunos instrumentos de cuerda pulsada producen ataques mucho más enérgicos. Es el caso de la biwa japonesa, cuyo gran plectro (bachi) genera una excitación de carácter marcadamente percusivo. Desde el punto de vista de la modelización física, este tipo de ataque puede aproximarse mediante una distribución inicial de velocidades, de forma similar a la utilizada para representar el golpeo por un macillo en un piano.

El primer mecanismo de excitación corresponde al punteo de una cuerda mediante una púa o con los dedos. Para modelarlo, se supone que la cuerda parte de una deformación inicial de perfil triangular y velocidad nula. Una vez liberada, la cuerda comienza a vibrar a partir de esa configuración inicial.

El segundo mecanismo presenta una excitación de carácter más impulsivo o percusivo, análogo al golpeo de una cuerda por un macillo, como ocurre en el piano. En este caso la cuerda se encuentra inicialmente en su posición de equilibrio, pero recibe un impulso localizado que le proporciona una distribución inicial de velocidades. Tras el impacto, la cuerda queda libre y su vibración evoluciona a partir de esa condición inicial.

Aunque ambos mecanismos generan los mismos modos propios de la cuerda, la distribución de energía entre los distintos armónicos es diferente. Como consecuencia, el timbre y la evolución temporal del sonido también cambian de forma apreciable.

Visualizar las componentes del sonido: los espectrogramas

Los espectrogramas permiten representar simultáneamente la evolución temporal y frecuencial de una señal acústica. En ellos, el tiempo aparece en el eje horizontal, la frecuencia en el eje vertical y la intensidad se representa mediante una escala de colores.

La forma de excitar la cuerda influye de manera decisiva en el contenido espectral del sonido. Además, la presencia de un puente con el que la cuerda interacciona modifica la distribución de energía entre los distintos armónicos y, por tanto, las características tímbricas del instrumento. Desde el punto de vista mecánico, el puente recibe las fuerzas transmitidas por la cuerda y las comunica a la caja de resonancia, responsable de poner en movimiento el aire circundante y generar finalmente el sonido audible.

En una cuerda ideal con extremos fijos, el espectrograma muestra únicamente los modos normales de vibración excitados por las condiciones iniciales. Cuando se introduce la interacción con el puente, aparecen nuevos fenómenos: se activan componentes de frecuencia más elevada, se produce una transferencia de energía entre armónicos y algunas bandas espectrales experimentan ensanchamientos o pequeñas variaciones temporales que no aparecen en la cuerda libre.

En los espectrogramas de la Fig. 5 se comparan los resultados obtenidos para una excitación triangular en la cuerda libre y en presencia de las tres geometrías de puente estudiadas (mostradas en la Fig. 2).

En el caso sin puente, la excitación triangular tiene su máximo en la posición $x=3L/4$. Como consecuencia, los armónicos múltiplos de cuatro no son excitados y las frecuencias $f_4$, $f_8$, $f_{12}$, $f_{16}$, $\ldots$ aparecen fuertemente atenuadas o ausentes en el espectrograma.

Sin embargo, cuando la cuerda interactúa con el puente, durante el régimen transitorio se observa la aparición de estos modos previamente ausentes. El contacto con el puente redistribuye energía entre las distintas componentes espectrales y favorece la excitación de armónicos de orden superior. Este comportamiento es común a las tres geometrías estudiadas, aunque se vuelve más acusado a medida que aumenta la complejidad del puente.

Otra característica notable es la presencia de variaciones temporales más pronunciadas durante el transitorio, reflejo de la naturaleza intermitente y no lineal de la interacción cuerda-puente. Tras esta fase inicial el espectro alcanza un régimen casi estacionario, aunque diferente del observado en la cuerda libre. En particular, además de mantenerse ausentes los múltiplos de cuatro, también desaparecen determinados armónicos asociados a múltiplos de nueve. La reaparición de armónicos inicialmente prohibidos constituye una evidencia directa de la naturaleza no lineal de la interacción cuerda-puente.

Por su parte, los espectrogramas de la Fig. 6 muestran los resultados obtenidos para la excitación impulsiva, comparando nuevamente la cuerda libre con las tres configuraciones de puente consideradas.

En ausencia de puente, el espectrograma permanece constante en el tiempo, como corresponde a una cuerda lineal cuyos armónicos conservan sus frecuencias e intensidades relativas.

La introducción del puente vuelve a producir un enriquecimiento espectral. Durante el transitorio aparecen componentes adicionales y se observa una transferencia de energía hacia frecuencias más elevadas, acompañada por un ligero ensanchamiento de algunas bandas espectrales. El resultado es un espectro más complejo y rico en armónicos que el de la cuerda libre, consistente con el timbre brillante y zumbante característico de los instrumentos estudiados.

Conclusiones: el origen del zumbido

A lo largo de este trabajo hemos intentado responder a una pregunta aparentemente sencilla: ¿qué causa el característico zumbido de instrumentos como el sitar, la tambura o la biwa?

Las simulaciones muestran que dicho efecto no es una propiedad intrínseca de la cuerda ni depende exclusivamente de la caja de resonancia. Su origen se encuentra en el contacto intermitente entre la cuerda vibrante y la geometría particular del puente jawari.

La pulsación de la cuerda proporciona la energía inicial del sistema, pero el característico zumbido no procede directamente del ataque sino del contacto intermitente entre la cuerda vibrante y la superficie curvada del puente jawari. Durante la vibración, distintos puntos de la cuerda entran y salen repetidamente de contacto con el puente, introduciendo una interacción no lineal que modifica continuamente el contenido armónico del sonido.

Esta sucesión de contactos y separaciones modifica continuamente la distribución de energía entre los modos de vibración. Como consecuencia, durante el régimen transitorio aparecen armónicos adicionales, se excitan con mayor intensidad las componentes de alta frecuencia y algunas bandas espectrales presentan ligeros ensanchamientos y fluctuaciones temporales. El resultado es un espectro más rico y dinámico que el de una cuerda ideal con extremos fijos.

Desde el punto de vista perceptivo, el oído interpreta esta complejidad espectral como un sonido brillante, resonante y zumbante. En otras palabras, el característico efecto jawari puede entenderse como una manifestación acústica de la interacción no lineal entre la cuerda y el puente.

Más allá del caso particular de estos instrumentos, el fenómeno ilustra cómo un sistema físico aparentemente simple puede generar comportamientos muy complejos cuando se incorporan restricciones geométricas y contactos no lineales. Detrás de este sonido tan singular aparecen algunos de los conceptos fundamentales de la Física de las ondas: propagación, reflexión, armónicos, resonancias, espectros de frecuencia e interacciones no lineales.

Así, el zumbido del sitar, la tambura o la biwa no debe interpretarse como una imperfección del instrumento, sino como el resultado de un diseño acústico cuidadosamente elaborado para enriquecer el contenido armónico del sonido y dotarlo de una personalidad tímbrica inconfundible.

Autores: Mar Serrano Maestro y Mario Ríos Almeida.

Mar Serrano Maestro es profesora del Departamento de Física Fundamental de la UNED.
Mario Ríos Almeida es alumno del grado en Física de la UNED.

Referencias

[1] Ríos Almeida, M., Modelado y análisis de una cuerda vibrante con puentes de distintas geometrías mediante el método de guía de ondas digital, Trabajo Fin de Grado, Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), curso académico 2025–2026.

[2] Raman, C. V., «On Some Indian Stringed Instruments», Proceedings of the Indian Association for the Cultivation of Science, vol. 7, 1921, pp. 29–33.

[3] Fletcher, N. H. y Rossing, T. D., The Physics of Musical Instruments, 2.ª ed., Springer, Nueva York, 2012.

[4] Smith, J. O., «Physical Modeling Using Digital Waveguides», Computer Music Journal, vol. 16, n.º 4, 1992, pp. 74–91.

[5] Kartofelev, D., Välimäki, V., Bilbao, S. et al., «Modeling a Vibrating String Terminated Against a Bridge with Arbitrary Geometry», en Proceedings of the Stockholm Music Acoustics Conference, Estocolmo, Suecia, 2013.

[6] Stulov, A. y Kartofelev, D., «Vibration of Strings with Nonlinear Supports», Applied Acoustics, vol. 76, 2014, pp. 223–229.