Autores: Gonzalo Hernández Fajardo y Adolfo Vázquez Quesada.
Cuando se aborda la física de fluidos en la carrera se estudian, en la mayoría de los casos, los llamados fluidos newtonianos. Los fluidos newtonianos son aquellos en los que hay una relación lineal entre su tensión (o estrés) y la tasa de deformación del fluido. Esta última es función del gradiente del campo de velocidades, y la constante de proporcionalidad entre el gradiente de velocidad y la tensión es la viscosidad del fluido, que es una cantidad que nos dice cuál es la resistencia que opone el líquido a fluir y a deformarse. Por ejemplo, si se aplica un estrés cortante $\tau_{xy}$ a un fluido, la relación entre el estrés y la componente correspondiente del gradiente de velocidades será
\begin{eqnarray}
\tau_{xy} = \eta \frac{\partial v_x}{\partial y},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
\end{eqnarray}
donde $\eta$ es la viscosidad, $v_x$ la velocidad en la dirección $x$ y $\partial v_x/\partial y$ la componente $xy$ del gradiente de velocidades, es decir, cómo cambia la velocidad $v_x$ cuando varía la coordenada $y$. Esto ocurre cuando, por ejemplo, hay un fluido entre dos paredes a las que aplicamos velocidades $V$ y $-V$ como se muestra en la Fig. 1. Cuanto mayor sea la velocidad de la paredes, mayor será la componente del gradiente $\partial v_x/\partial y$, y proporcionalmente mayor será $\tau_{xy}$. Si el fluido tiene más viscosidad, costará más mantener las velocidades $V$ y $-V$ de las paredes.
Esta viscosidad varía si introducimos pequeñas partículas sólidas en el fluido, es decir, si formamos una suspensión. Las suspensiones tienen interés en muchas áreas industriales y biológicas. Por ejemplo, la sangre se puede entender como una suspensión, en donde las células sanguíneas son partículas que se mueven en un solvente. Muchos alimentos pueden verse como suspensiones: la leche es una suspensión de gotitas de grasa y son suspensiones también los caldos, natillas y muchos otros. Así mismo, encontramos suspensiones en la industria farmacéutica, en la industria química, la petrolífera, las energías alternativas, y muchas más. Dado que, en la mayoría de los casos, es interesante conocer cómo se desplazan estos fluidos, conviene entender cómo varía su viscosidad respecto a la del fluido sin partículas (el solvente). Ya se han hecho experimentos sobre esto reportando la viscosidad experimental que se muestra en la siguiente figura [1] :
En esta figura, $\mu_r$, es la viscosidad relativa, que se define como: $\mu_r = \eta/\eta_s$, siendo $\eta$ la viscosidad de la suspensión y $\eta_s$ la viscosidad del solvente. En cuanto a la cantidad $\phi$, es la fracción de volumen sólido, definida como $\phi = V_{sol}/V_{tot}$, donde $V_{tot}$ es el volumen total de la suspensión, y $V_{sol}$ el volumen de sólido (de partículas). Si no hubiera ninguna partícula, $\phi$ valdría cero. Los puntos (K1, GW y KG) son resultados experimentales, correspondiendo cada tipo de punto a suspensiones diferentes. Lógicamente, cuando $\phi$ tiende a cero (ausencia total de partículas), la viscosidad relativa $\mu_r$ debería tender a 1, pues la viscosidad $\eta$ se correspondería con la viscosidad $\eta_s$ del solvente. Las curvas que se han dibujado en la gráfica corresponden a funciones de ajuste (Eiler fit y New correlation) que los autores estudian en ese trabajo.
En la figura se aprecia que el comportamiento de la viscosidad de la suspensión en función de la fracción de volumen sólido $\phi$ es similar para todos los tipos de suspensiones. En concreto, la viscosidad relativa $\mu_r$ es una función creciente de $\phi$ ¿Por qué aumenta la viscosidad cuantas más partículas se introducen en el fluido? Podemos entenderlo de forma cualitativa comparando los casos con y sin partículas. La razón del aumento de la viscosidad, cuando introducimos partículas, está en las restricciones que las partículas imponen a la velocidad del propio solvente. Este tiene que ir, en las regiones en las que contacta con un sólido, a la misma velocidad que el sólido, lo que se denomina en inglés condición de no-slip. Eso vale tanto para las partículas como para la pared. Al introducir las partículas, como tienen cierto tamaño, su movimiento es resultado de un compromiso entre las partes de la partícula en contacto con un flujo más lento y aquellas en contacto con uno más rápido. Esta falta de libertad de la partícula para acomodarse al flujo y la condición de no-slip con el líquido distorsiona el campo de velocidades del solvente, de tal manera que la velocidad de este tiene que cambiar más rápido entre las partículas y la pared que lo rápido que cambiaría en la misma longitud en el caso de que no hubiera partículas. Es decir, el gradiente de velocidades cerca de la pared es mayor que si solo tuviéramos solvente, y eso implica, de acuerdo con la ecuación (1), que la fuerza sobre la pared es mayor, o expresado en términos de viscosidad efectiva, que esta es mayor.
Existen algunas aproximaciones teóricas que calculan el aumento de la viscosidad, pero todas a muy bajas concentraciones ($\phi \lesssim 0.05$). Un ejemplo es el modelo de Einstein, en el que se supone que una disolución está formada por una suspensión uniforme de partículas esféricas indeformables que no interactúan entre sí mediante otras fuerzas (como, por ejemplo, interacciones hidrodinámicas o atracciones o repulsiones entre partículas). Es decir, se trata de una suspensión con partículas sólidas muy alejadas entre sí. Aunque su demostración no es precisamente trivial, viene dada por la sencilla relación
\begin{eqnarray}
\mu_r = 1 + 2.5\phi,
\nonumber
\end{eqnarray}
que permite estimar $\mu_r$ en función de $\phi$ y da buenos resultados para concentraciones muy bajas. Al coeficiente $2.5$ se le conoce como viscosidad intrínseca, y es el coeficiente lineal con el que la viscosidad relativa aumenta en función de la fracción de volumen $\phi$. Otro modelo derivado de este es el de Batchelor-Green que, suponiendo que hay algunas interacciones hidrodinámicas de muy largo alcance entre partículas, permite encontrar un término más que el modelo de Einstein (el término que va con $\phi^2$) y da mejores resultados para concentraciones superiores al límite de aplicación del de Einstein (algo por encima de $\phi \approx 0.05$)
\begin{eqnarray}
\mu_r = 1 + 2.5\phi+6.2\phi^2 .
\nonumber
\end{eqnarray}
Este aumento de viscosidad también se puede ver en simulaciones numéricas, estudio que está realizando el primer autor de esta entrada (Gonzalo) en su trabajo fin de grado (TFG). Aunque podemos utilizar una gran variedad de métodos numéricos para simular un fluido complejo con estas características, una opción que cuenta con grandes ventajas y que se ha utilizado en este TFG es el método SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) [2], que destaca por la facilidad con la que permite simular fluidos en contacto con superficies sólidas móviles, como es el caso de una suspensión. A partir del establecimiento de un régimen cortante bidimensional, como el mostrado en la Fig. 1, podemos estimar la viscosidad de forma numérica, fijando la velocidad de las paredes y midiendo (en la simulación) la fuerza sobre la pared superior. La relación que nos permite obtener la viscosidad viene directamente de la ecuación (1):
\begin{eqnarray}
\eta = \frac{ \tau_{xy}} {\frac{\partial v_x}{\partial y}} \approx \frac{F/L}{2v/L} = \frac{F}{2v},
\nonumber
\end{eqnarray}
donde $F$ es la fuerza que el fluido ejerce sobre la pared, $L$ es la longitud de esta y $v$ es la velocidad de la pared (la superior a velocidad $v$ y la inferior a velocidad $-v$). Mediante simulaciones de distintas distribuciones de partículas variando el tamaño de caja o añadiendo más partículas, podemos obtener la relación $\mu_r$ entre esta viscosidad y la del solvente para distintos valores de $\phi$. Por ejemplo, para un caso de suspensión con un valor de $\phi$ intermedio, como el que se observa en las Figs. 3 y 4, la existencia de coloides en el fluido modifica el campo de velocidades que tendríamos si no hubiera partículas, así como el perfil de velocidades.
De esta forma las simulaciones son consistentes con los resultados experimentales: la disminución de la velocidad promedio en las regiones centrales del canal, en comparación con el caso sin partículas, se traduce en una viscosidad efectiva mayor. La dependencia de la viscosidad con $\phi$ se puede observar en la Fig. 5, donde comparamos distintos resultados con la aproximación de Einstein. Para concentraciones de hasta $\phi \approx 0.15$, los resultados numéricos son semejantes al modelo. Para valores mayores de $\phi$, la viscosidad se dispara, alejándose de la predicción de Einstein, de manera similar a como sucede en los experimentos. No obstante, sabemos de la literatura científica que, en sistemas tridimensionales y en simulaciones que tienen en cuenta más efectos físicos, la desviación de la ecuación de Einstein aparece, al igual que en los experimentos, a fracciones de volumen por debajo de $\phi = 0.05$, es decir, mucho antes.
Otra forma menos convencional de variar la viscosidad, que abre una ventana de posibilidades a la hora de controlar la misma, se da en el caso de las soluciones magnéticas. Si las partículas disueltas tienen carácter magnético y se somete el conjunto a un campo externo, tenderán a orientar su momento magnético en la misma dirección del campo. No solo eso, sino que debido a esta misma interacción magnética las partículas comenzarán a atraerse y se formarán cadenas magnéticas de partículas en esta dirección, como se observa en la Fig. 6. Dependiendo de si estas cadenas se orientan a favor del flujo o en una dirección perpendicular, distorsionarán más o menos el campo de velocidades, afectando a la viscosidad efectiva del flujo, por lo que cambiar la orientación del campo magnético nos permite controlar lo fácil que es hacer fluir a la suspensión.
Con lo que hemos contado hasta ahora, podríamos pensar que, añadiendo partículas a un líquido, pasamos de tener un fluido newtoniano con cierta viscosidad a tener un fluido newtoniano con una viscosidad mayor. Pero en la realidad, no solo cambia el valor de la viscosidad, sino que esta también depende del esfuerzo al que se somete el fluido. En otras palabras, la suspensión ya no es, en general, un fluido newtoniano, pues ya no se cumple la ecuación (1) con un valor constante de la viscosidad: podríamos decir que la viscosidad varía con el esfuerzo al que el fluido es sometido. Esta viscosidad variable de las suspensiones, aunque no cambiemos $\phi$, se ve en los experimentos, en los que depende de la magnitud de la tensión que esté soportando el fluido. Hay regímenes en los que la viscosidad disminuye cuando la tensión aumenta, denominados en inglés shear-thinning, y otros en los que la viscosidad hace lo contrario, denominados shear-thickening. En algunos casos, el aumento de viscosidad es tan enorme, que el comportamiento del fluido es muy exótico, comportándose como un sólido o como un líquido en función de la rapidez con la que lo deformarmos, tal y como se puede apreciar en el vídeo de abajo, pero este tema da ya para otro artículo.
Las suspensiones y, en general, los fluidos complejos son temas de investigación de interés, tanto desde el punto de vista computacional como desde el experimental, del Grupo de Materia Blanda y Fluidos (MBF) de la UNED. Para más información, pincha en este enlace.
El código de simulación utilizado ha sido desarrollado por nuestro grupo. Se pueden consultar los detalles sobre dicho codgo, y se puede descargar en el siguiente enlace.
Autores: Gonzalo Hernández Fajardo y Adolfo Vázquez Quesada.
Gonzalo Hernández Fajardo es estudiante del grado en Física de la UNED.
Adolfo Vázquez Quesada es profesor del Departamento de Física Fundamental de la UNED.
Referencias:
[1] I.E. Zarraga, D.A. Hill, and D.T. Leighton Jr. The characterization of the total stress of concentrated suspensions of noncolloidal spheres in newtonian fluids. Journal of Rheology, 44(2):185–220, 2000.
[2] J.J. Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics and its diverse applications. Annual Review of Fluid Mechanics, 44(1):323–346, 2012.