Autor: Javier Rodríguez Laguna.
Por alguna razón misteriosa, mucha gente piensa que la mecánica clásica es aburrida y que no nos puede deparar sorpresas. Nada podría haber más lejos de la verdad. Al fin y al cabo, si la mecánica clásica fuera tan intuitiva, las leyes de Newton habrían sido descubiertas en la Antigüedad, y no al borde del siglo XVIII. Dejadme que os hable de un efecto mecánico sencillo que desafía a nuestra intuición: el oscilador de Timoshenko.
Situamos dos rodillos horizontales y paralelos, girando en sentidos contrarios, ambos «hacia el centro». Si apoyamos sobre ambos una barra, de manera transversal, comenzará a oscilar. Podéis ver el efecto en el siguiente vídeo.
La razón viene descrita en la figura siguiente, donde vemos un corte lateral. La barra se apoya sobre los dos rodillos, de manera que su peso está compensado exactamente por las dos reacciones normales. Si el centro de masas de la barra está centrado, entonces ambas reacciones son iguales. Pero si no está centrado, una será mayor que la otra. Eso significa que las fuerzas de rozamiento (dinámico) que ejercen ambos rodillos no son exactamente iguales… y el rodillo se desplazará hacia un lado. En el caso de la figura, hacia la izquierda.
Cuando el centro de masas del rodillo sobrepase el punto medio entre ambos rodillos, la reacción normal del rodillo izquierdo será la mayor, y también su fuerza de rozamiento… así que la barra se irá frenando, hasta que comience a moverse hacia la derecha.
Vamos a esbozar ahora cómo se hacen las cuentas completas, que sólo exigen física de primer curso. La barra se apoya sobre ambos cilindros, de forma que la suma de las reacciones generadas por ambos deben compensar exactamente el peso. Si llamamos \(N_1\) y \(N_2\) a sus módulos, tenemos que \(N_1+N_2=mg\). Sin embargo, esa ecuación no es suficiente para determinar la reacción en cada cilindro. Para eso debemos imponer además que la barra no rota, así que el torque total debe ser cero. Llamando \(x\) al desplazamiento horizontal del centro de la barra tenemos
\begin{eqnarray}
mgx={l\over 2}(N_2-N_1),
\end{eqnarray}
donde \(l\) es la distancia entre los centros de los cilindros. Esta ecuación responde a la intuición que expresábamos antes: la barra se apoya más sobre un cilindro que sobre el otro. Usando ahora la relación de Coulomb para el módulo de la fuerza de rozamiento dinámica y el de la reacción normal, \(F_{roz}=\mu N\), tenemos
\begin{eqnarray}
\ddot x + {2g \mu\over l} x = 0,
\end{eqnarray}
que es la ecuación de un oscilador armónico: la aceleración es proporcional al desplazamiento, con el signo cambiado. La frecuencia resultante es
\begin{eqnarray}
\omega = \sqrt{2g \mu\over l}
\end{eqnarray}
En física es muy frecuente observar «oscilaciones efectivas» donde no se esperaban. De hecho, cada vez que tenemos un sistema en equilibrio y lo perturbamos ligeramente, es usual observar una «fuerza restauradora» que es proporcional a la amplitud de la perturbación, y eso da lugar a una oscilación. En algunos casos, la oscilación efectiva se amortigua en el tiempo, pero no en este caso, porque existe una fuente de energía que mantiene al sistema en movimiento. ¿Sabrías identificarla?
La referencia [1] explica de manera clara y pedagógica cómo encontrar las ecuaciones del movimiento para el oscilador de Timoshenko. Pero, además, describe cómo construirlo en casa con piezas de LEGO. Aquellos/as de vosotros/as que complementéis el amor a la física con un amor por construir cosas con vuestras propias manos, podéis intentarlo y enviarnos un vídeo mostrando vuestro montaje experimental.
Una última pregunta: ¿qué sucede si, en lugar de girar «hacia el centro» (visto desde arriba), ambos rodillos giran «hacia fuera», y partimos de la barra centrada sobre ellos?
Referencias
[1] R. Henaff et al., A study of kinetic friction: the Timoshenko oscillator, Am. J. Phys. 86, 174 (2018). Disponible en esta URL.
Autor: Javier Rodríguez Laguna.
Javier Rodríguez Laguna es profesor del Dto. de Física Fundamental.