Simulaciones Monte-Carlo

El método de Metropolis-Monte Carlo usa una cadena de Markov (proceso aleatorio discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior) para obtener una secuencia de muestras aleatorias a partir de una distribución de probabilidad. Se trata de un tipo de simulación comúnmente usado en física estadística y en nuestro caso está siendo aplicado para diferentes estudios.

El algoritmo principalmente consiste en los siguientes pasos:

Dada una distribución de probabilidad P(x), se quiere llegar a la generación de distintos valores de x que ocurran con una frecuencia que siga esta distribución de probabilidad deseada, como por ejemplo puede ser la distribución de Boltzmann. Primeramente se genera un valor de x₀ inicial. A continuación se aplica un esquema iterativo en el cual se genera un valor candidato x’ a partir del valor de x en el la iteración t, x_t. Entonces se calcula el valor de la probabilidad de transición entre ambos estados, α = f(x|x’), y se genera un número aleatorio u ∈ (0,1):

Si u ≤ α se acepta el cambio y x_t+1 = x’
Si u < α se rechaza el cambio y x_t+1 = x_t

La función α = f(x|x’) es escogida de forma que la frecuencia con la cual se dan los valores de x sigan la distribución P(x).

Con este método se ha trabajado en dos líneas principalmente:

1. Transiciones de fase en sistemas bidimensionales

Los materiales bidimensionales son uno de los campos más activos en cuanto a investigación de nuevos materiales, debido a sus múltiples aplicaciones, como la obtención y almacenamiento de energía, los sensores, la catálisis o la electrónica. Muchas preguntas siguen aún sin resolver en torno al comportamiento de este tipo de materiales, siendo una de ellas la naturaleza de la transición entre el estado sólido y líquido.

En dicha transición se obtiene una fase intermedia entre la sólida y la líquida, llamada hexática, que se halla de forma exclusiva en los sistemas bidimensionales. El rol de los distintos tipos de defectos en la estructura, así como su disposición a lo largo del sistema en estas transiciones, es analizado en las distintas teorías existentes que tratan de explicar esta transición, aunque todavía no existe un consenso claro sobre cómo se produce esta transición y el papel que desempeña esta peculiar fase hexática. Dentro de nuestro grupo se viene trabajando recientemente en caracterizar la naturaleza de esta transición e identificar los mecanismos de fusión en estos materiales por medio de simulaciones de tipo Metropolis Monte Carlo, en las cuales se puede obtener una muestra representativa de las configuraciones de sistemas con distintas condiciones termodinámicas y variando la forma del potencial de interacción.

En la figura 1 se puede apreciar cómo la correlación traslacional y orientacional (que está relacionado con el orden posicional y orientacional a medio y largo alcance de los átomos o moléculas que forman la estructura bidimensional) del sistema tiene comportamientos cualitativamente distintos dependiendo de la fase en la cual se halle.

Figura 1. Diagrama de presión y concentración para un sistema bidimensional de átomos que interacciona con un potencial del tipo Lennard-Jones (6-12). En los cuadros interiores se muestra el decaimiento de la correlación traslacional (azul) y orientacional (rojo) con la distancia.

Para la realización de estas simulaciones se ha creado un programa propio, denominado “Random Phase”, que ha sido también utilizado en docencia para la realización de prácticas de simulación. La creación de este programa ha sido gracias al nuestra participación en el Grupo de Innovación Docente en Física (GIDF) y del proyecto de innovación docente PID2019.

Actualmente se utiliza en el laboratorio de Estado Sólido de Técnicas Experimentales IV del Grado en Física de la UNED. Incluso, dentro de este proyecto y fruto también de la realización del Trabajo Fin de Master de D. Óscar Toledano en el Máster Universitario de Formación de Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato de la UNED, se ha propuesto una práctica de simulación para la etapa educativa de Secundaria, en la cual los alumnos podrán visualizar cómo las partículas se agrupan en los distintos estados de agregación (sólido, líquido y gas) dependiendo de las condiciones termodinámicas y de la fortaleza del potencial de interacción seleccionadas. En dicha práctica, los alumnos podrán observar como las partículas se disponen en configuraciones con un orden cristalino en la fase sólida, desordenadas pero próximas en la fase líquida, y con posiciones aleatorias en la fase gaseosa (ver figura 2).

Figura 2. Disposición de las partículas interactuantes bajo distintas condiciones termodinámicas.

También podrán apreciar cómo ciertas magnitudes, como la energía, la orientación o la concentración, varían de forma brusca en las transiciones de fase (ver figura 3).

Figura 3. Evolución del valor de distintos observables en función de la temperatura.

Este software, junto su manual de uso, puede ser descargado en la siguiente dirección:
https://github.com/UNEDSoftMatter/RandomPhase

2. Simulación de la transmisión de un virus en situaciones de confinamiento

En este estudio participan el Dr. Javier Rodríguez Laguna y Dª Begoña Mula del Dpto. de Física Fundamental de la UNED, la Dra. Silvia Santalla del Dpto. Física, UC3M y D. Óscar Toledano y Dr. Óscar Gálvez del Dpto. de Física Interdisciplinar de la UNED.

El modelo SIR-confinado

Con este modelo se pretende caracterizar los efectos debido al confinamiento en la dinámica de expansión de una enfermedad epidémica. Para ello se empela un modelo geométrico muy simple, que hemos denominado modelo SIR-confinado. Los agentes (que podemos identificar por personas o núcleos de población) se mueven aleatoriamente sobre una red de celdillas, de tal manera que nunca pueden alejarse demasiado de sus hogares. En la versión más simple del modelo, los hogares están distribuidos aleatoriamente y todos los agentes tienen el mismo radio de “deambulación”, que denominamos R. Luego, uno (o unos pocos) agentes infectados se introducen en la red. Cuando un agente infectado coincide con uno sano (agente susceptible) (por lo que asumimos que los círculos de “deambulación” se superponen en algún punto), puede producirse un contagio. Además, los agentes infectados pueden recuperarse, con cierta probabilidad (por unidad de tiempo), volviéndose inmunes pasados un tiempo dado. Estos son los principios básicos de un modelo SIR (susceptible-infectado-recuperado).

Las siguientes dos figuras muestran la ubicación de los hogares (puntos azules), mientras que los círculos azules muestran la región de deambulación (también llamada región de confinamiento) de cada agente. En negro, mostramos los vínculos efectivos entre agentes.

Figura 4. 1000 agentes y sus hogares distribuidos aleatoriamente.

Figura 5. Zoom de la región central. En puntos azules están los agentes susceptibles y en rojo el agente infectado.

Observe que las líneas negras conectan a los agentes que muestran un vínculo efectivo, donde puede producirse el contagio.

En este video se muestra un agente deambulando por su región confinada y cómo puede infectarse. Los puntos azules y rojos son agentes susceptibles e infectados, respectivamente.

Movilidad de los agentes, umbral de percolación y probabilidad de recuperación

Cuando se aumenta el tamaño del radio de confinamiento R (aumentando así la movilidad del agente), aumenta también el número de vínculos efectivos entre distintos agentes y, en consecuencia, la propagación de la epidémica afectará a un mayor porcentaje de la población. Existe un radio crítico (el llamado umbral de percolación), donde ocurre una “transición de fase” y la pandemia se descontrola. Sin embargo, incluso para valores de radios por encima del umbral de percolación, si la probabilidad de recuperación es lo suficientemente grande, un cierto porcentaje de la población no llegaría a infectarse. En los siguientes videos se muestran estas diferentes situaciones.

El radio está por debajo del umbral de percolación. La propagación del estallido epidémico es limitada.

El radio está por encima del umbral de percolación y la probabilidad de recuperación es lo suficientemente baja. Se produce una pandemia mundial.

El radio está por encima del umbral de percolación y la probabilidad de recuperación es alta. Un porcentaje bajo de agentes se infectan.

En estas animaciones, los puntos azules, rojos y negros muestran los agentes susceptibles, infectados y recuperados, respectivamente.

Programa de vacunación

Pero, incluso cuando la movilidad de los agentes está por encima del umbral de percolación, una vacuna podría evitar el estallido epidémico. Sin embargo, si no tenemos suficientes dosis de vacunas para toda la población, cuál debería ser el programa de vacunación para maximizar las posibilidades de detener la epidemia. En este sentido se han realizado diferentes simulaciones en base a distintos esquemas de vacunación aplicados a nuestro modelo SIR-confinado. Estos diferentes esquemas se basan en diferentes propiedades de la red. Por ejemplo, el programa de vacunación más simple sería únicamente seleccionar a los individuos al azar. Otro esquema simple podría ser seleccionar a los agentes con mayor número de conexiones efectivas. Además, podemos definir una variable denominada “grado de fragmentación” asociado a cada agente, que intuitivamente nos informa de la reducción de las conexiones efectivas en la vecindad de este agente cuando es vacunado. Sin embargo, el observable más prometedor es, la “centralidad de intermediación” (en inglés betweenness centrality) asociada a cada agente, definida como la fracción del número total de geodésicas que atraviesan un agente en particular. De algún modo este propiedad mide cuan relevante es la posición del agente debido a que es clave para permitir el paso de los caminos de propagación de la enfermedad a través de él.

Vacunación aleatoria.

Esquema de vacunación en función del grado de fragmentación.

Esquema de vacunación basado en la centralidad de intermediación.

En estas animaciones, los puntos azules, rojos y negros muestran los agentes susceptibles, infectados y recuperados, respectivamente. Los agentes inmunizados están coloreados en verde.

De acuerdo con nuestros resultados, un programa de vacunación basado en la propiedad de centralidad de intermediación es el más efectivo para controlar la pandemia para nuestro modelo SIR-confinado, pero en la práctica, en esta situación se deben considerar muchas otras cuestiones, como las condiciones de salud de las personas, edad, u otros aspectos sociales y políticos. Sin embargo, esperamos que algunas de nuestras conclusiones puedan ser interesantes para los investigadores de este campo, en combinación con los conocimientos de otros especialistas, ayuden a controlar los efectos de los estallidos epidémicos presentes y futuros.