Autores: Ana Belén Ramírez de Arellano Rayo y Adolfo Vázquez Quesada.
Tras todo el lío que tuvimos el otro día con las raíces (ver enlace), hemos recibido una respuesta que nos ha satisfecho, pues permite desfacer el entuerto. La respuesta es de Ana Belén Ramírez de Arellano Rayo, estudiante del Máster de Física Avanzada de la UNED. La transcribimos aquí debajo, y después haremos algunas consideraciones extra que creo que serán interesantes.
Al final no estaban tan locas estas raíces.
Respuesta de Ana Belén Ramírez de Arellano Rayo
Me gustaría aportar algunas reflexiones sobre las aparentes paradojas planteadas en el artículo, centrándome en la distinción fundamental entre dos conceptos:
- La ecuación $x^2 = 16$. En $\mathbb{R}$, esta ecuación admite exactamente dos soluciones: $x = 4$ y $x = -4$. El Teorema Fundamental del Álgebra, aplicado a un polinomio de segundo grado, confirma que no aparecen más de dos raíces (contando multiplicidades).
- La función $\sqrt{x}$. Al definir $\sqrt{x}$ como la rama principal} de la raíz cuadrada, trabajamos con una función de $[0, \infty)$ en $[0, \infty)$. Por convenio, $\sqrt{16} = 4$, y no $\pm4$. Así, $x$ es univaluada y cada $x \ge 0$ genera un único valor no negativo.
En cuanto a si $f(x) = \sqrt{x}$ es realmente una función, la respuesta es sí, porque para cada $x \ge 0$ ofrece un único valor, $x \ge 0$. El malentendido surge al mezclar esta definición univaluada con la necesidad de contemplar las dos raíces en el contexto de ecuaciones cuadráticas.
Así, como subraya Rudin [1], si hablamos de funciones, cada $x$ tiene un único valor, mientras que al resolver ecuaciones consideramos las raíces positiva y negativa.
P.D.: En [1] se parte de una definición rigurosa de los números reales y se demuestra que para cada $x > 0$ existe un único número positivo $y$ tal que $y^2 = x$. Así, $\sqrt{x}$ queda bien definida y es continua. Esto difiere de las dos raíces que aparecen al resolver la ecuación $x^2 = a$, porque en $\sqrt{x}$ siempre se escoge la raíz no negativa.
De esta manera, Ana Belén nos resuelve todos los problemas planteados en la entrada anterior. Efectivamente, como ella misma subraya, hay una polisemia del término raíz, que hace referencia, al mismo tiempo, a la operación aritmética y a una de las soluciones de una ecuación cuadrática. Si bien, aunque seguramente esta sea una de las causas que puede generar confusiones similares a las mostradas en la anterior entrada, no creo que sea la única. De hecho, existe otro problema de polisemia que se tiene con la raíz, pues la mayoría de la gente considera que las expresiones $\sqrt{x^2}=x$ y $\sqrt{25}=\pm 5$ son válidas al mismo tiempo, es decir, que la raíz se aplica de manera diferente si es a un número o a una expresión algebraica. Pero que ambas expresiones sean válidas lleva a conclusiones absurdas, pues si esto fuera así, se cumpliría que
\begin{eqnarray}
5= \sqrt{5^2} = \sqrt{25}=\sqrt{(-5)^2} = -5
\nonumber
\end{eqnarray}
Antes de que te excluyas del grupo de los que creen que ambas expresiones $\sqrt{x^2}=x$ y $\sqrt{25}=\pm 5$ son válidas, te reto a comprobarlo. Consideremos, por ejemplo, cómo se resuelve la ecuación $x^2=25$
\begin{eqnarray}
x^2 = 25 \rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{25}
\rightarrow x=\pm 5.
\nonumber
\end{eqnarray}
Aunque ninguno de los pasos anteriores es erróneo, por simple comparación del segundo y tercer paso, la mayoría de nosotros se habrá dado cuenta de que es verdad que considera que $\sqrt{x^2}=x$ y $\sqrt{25}=\pm 5$ son ambas válidas, es decir, que la raíz tiene un significado diferente si se aplica a $25$ o a $x^2$.
Esta ambigüedad está bien documentada e históricamente ha sido origen de conflictos conceptuales incluso entre figuras importantes de las matemáticas (ver, por ejemplo, los casos de Euler, Peacock y Lacroix en [2]). Hoy en día, los conflictos son más bien de índole didáctica, debido a que la enseñanza de las matemáticas se ve muchas veces más afectada por las inercias tradicionales que por las definiciones formales que utiliza la matemática actual.
Bueno, a lo que nos interesa: ¿cómo se resuelve este conflicto en las matemáticas actuales? Utilizando la siguiente definición
\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2}=|x|
\end{eqnarray}
Pero entonces, ¿es correcta la siguiente expresión?
\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2}=\pm x
\end{eqnarray}
Pues sí que lo es. Pero esperad un poco antes de desear que un rayo me parta por la mitad por hacer que os explote la cabeza diciendo una cosa y la contraria al mismo tiempo. La ecuación es correcta si se considera que solo uno de los signos puede ser válido: el positivo será el signo válido si $x>0$ y el negativo lo será si $x<0$.
Entiendo que después de todo este lío, necesitamos un hito, algo a lo que agarrarnos, que nos dé un poco de seguridad sobre el concepto de la raíz cuadrada. Creo que un buen asidero es darse cuenta de que, con la definición de raíz dada arriba, el símbolo $\pm$ que aparece cuando operamos con raíces es el mismo símbolo $\pm$ que aparece cuando operamos con valores absolutos. Esto se ve ahora claramente si volvemos a resolver la ecuación $x^2=25$ de una manera más didáctica (en mi opinión, como se debería enseñar)
\begin{eqnarray}
x^2 = 25 \rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{25}
\rightarrow |x| = 5 \rightarrow x=\pm 5.
\nonumber
\end{eqnarray}
Es solo un paso más, pero en la adquisición de conceptos puede marcar una gran diferencia, pues vemos con claridad de dónde viene el símbolo $\pm$, y nos muestra que ninguna de las dos expresiones $\sqrt{x^2}=x$ y $\sqrt{25}=\pm 5$ es correcta.
Para más detalles, ya sean históricos, matemáticos o didácticos, os animo a consultar la referencia [2].
Autores: Ana Belén Ramírez de Arellano Rayo y Adolfo Vázquez Quesada.
Ana Belén Ramírez de Arellano Rayo es estudiante del Master de Física Avanzada de la UNED.
Adolfo Vázquez Quesada es profesor del Departamento de Física Fundamental de la UNED.
Referencias:
[1] Rudin, W. (1964). Principles of mathematical analysis (Vol. 3). New York: McGraw-hill.
[2] Gómez, B. (2014). Ambigüedad y polisemia del signo radical: un problema matemático y didáctico. La Gaceta de la RSME, 17(1), 139-153.