Autor: Adolfo Vázquez Quesada.
En ocasiones, uno le empieza a dar vueltas a conceptos que cree que tiene bien asentados y le empiezan a asaltar las dudas. Consideremos, por ejemplo, el caso de las raíces cuadradas. Partamos de la siguiente expresión:
\begin{eqnarray}
\sqrt{16} = \pm 4,\ \ \ \ \ (1)
\label{eq_partida}
\end{eqnarray}
que se justifica en que $4\times 4 = 16$ y en que $(-4)\times(-4) = 16$.
Resolvamos, teniendo en cuenta esta expresión, la ecuación cuadrática $x^2 = 16$, que resolveríamos como sigue:
\begin{eqnarray}
x^2 = 16 \rightarrow x = \pm \sqrt{16} = \pm \pm 4 = \pm 4 \ \text{(doble)}
\nonumber
\end{eqnarray}
Nótese que se obtienen cuatro raíces, aunque algunas sean iguales, pues son cuatro las combinaciones de signos posibles. Las soluciones serían $x=4$ (doble) y $x=-4$ (doble). Pero de acuerdo con el Teorema Fundamental del Álgebra, no deberían poderse obtener más de dos raíces, pues la ecuación polinómica es de segundo grado. ¿Qué falla?
Están locas estas raíces.
Consideremos ahora el cálculo de $3\sqrt{25} + 3\sqrt{25}$. Al resolverlo, teniendo en cuenta una ecuación similar a (1), obtenemos lo siguiente:\begin{eqnarray} 3\sqrt{25} + 3\sqrt{25} = 3\left(\pm 5\right)+3\left(\pm 5\right) = \pm 15 \pm 15 \end{eqnarray}
por lo que, de un cálculo aparentemente tan sencillo, obtengo tres posibles soluciones: $30$, $0$ y $-30$, lo cual me resulta un poco raro. Pero más raro me parece que si, de las tres soluciones obtenidas, cogemos la solución $0$, podríamos escribir lo siguiente:
\begin{eqnarray}
3\sqrt{25} + 3\sqrt{25} = \sqrt{25}(3+3) = 0 \longrightarrow \sqrt{25} = 0,
\end{eqnarray}
de donde se deduce que un valor posible de $\sqrt{25}$ es cero (¿?).
Por otro lado, ¿es $f(x) = \sqrt{x}$ una función o no? Consideremos por ejemplo el caso $x=9$, entonces $f(9) = \pm 3$, y como una función ha de ser univaluada, entonces $f(x) = \sqrt{x}$ no es una función, ¿es esto correcto?
A ver si alguien nos aclara todas estas cosas raras escribiéndonos a hablando.de.fisica@adm.uned.es, o dándonos pistas en los comentarios. Las respuestas que sean correctas y estén bien explicadas se publicarán próximamente.
Autor: Adolfo Vázquez Quesada.
Adolfo Vázquez Quesada es profesor del Departamento de Física Fundamental de la UNED.