Autores: Álex Jurado i López, Pedro García Segador y Javier Rodríguez Laguna.
La redacción de Hablando de Física @UNED está desbordada de respuestas muy inteligentes al acertijo de los camaleones. Vamos a resumir brevemente las mejores, y luego haremos unos pocos comentarios.
Os recuerdo cuál era el problema. En una isla tenemos 13 camaleones rojos, 15 azules y 17 verdes. Cuando dos camaleones de distintos colores se encuentran, ambos se vuelven del tercer color (del que no es ninguno de los dos). Suponiendo que no nace ni muere ninguno más, ¿es posible que todos los camaleones lleguen a ser del mismo color?
Avisamos entonces… SPOILER ALERT!! Si queréis pensar en el problema cerrad ahora mismo esta página.
¿Estáis seguros/as entonces? ¿Queréis seguir leyendo? Vale, vale, ya no pregunto más.
En efecto, es imposible que todos los camaleones se vuelvan del mismo color. Ahora, discutamos por qué.
Álex Jurado i López, estudiante de 4º del Grado en Física, nos envió una solución analítica perfecta basada en álgebra lineal. Tenemos un vector inicial de «poblaciones»,
$${\mathbf P}=(R,A,V)=(13,15,17).$$
Los encuentros entre camaleones actúan sumando tres posibles vectores:
$${\mathbf a}_1=(2,-1,-1),\quad {\mathbf a}_1=(-1,2,-1), \quad {\mathbf a}_3=(-1,-1,2).$$
Es decir: si se encuentran un camaleón azul y uno verde, el número de azules y verdes disminuye en uno, y el número de rojos aumenta en dos, así que al vector de poblaciones se le suma el vector ${\mathbf a}_1$. ¿Hasta aquí todos de acuerdo? Si se producen $n_1$ encuentros del tipo ${\mathbf a}_1$, $n_2$ del tipo ${\mathbf a}_2$ y $n_3$ del tipo ${\mathbf a}_3$, la población final será
$${\mathbf P} + n_1 {\mathbf a}_1 + n_2 {\mathbf a}_2 + n_3 {\mathbf a}_3,$$
Si todos los camaleones terminan por ser del mismo color, las poblaciones finales serán $(45,0,0)$, $(0,45,0)$ o $(0,0,45)$. Así que el último paso de Álex es encontrar los valores de $n_1$, $n_2$ y $n_3$ que nos llevan a cada uno de los estados finales. Es decir, resuelve un sistema de ecuaciones lineales en los que $n_1$, $n_2$ y $n_3$ son las incógnitas, demostrando así que en ninguno de los tres casos las soluciones son enteras. Así, por ejemplo, si queremos que todos los camaleones sean rojos resolvemos la ecuación
$${\mathbf P} + n_1 {\mathbf a}_1 + n_2 {\mathbf a}_2 + n_3 {\mathbf a}_3 = (45,0,0),$$
que tiene como soluciones $n_1-n_3=49/3$ y $n_2-n_3=2/3$… así que no existen soluciones enteras. Repitiendo el cálculo para los otros dos finales posibles encontramos la misma respuesta.
Pedro García Segador, estudiante de 3er curso del Grado, aporta un matiz interesante. Llamemos R al número de camaleones rojos, A al de azules y V al de verdes. Pedro parte del mismo esquema general de Álex, pero después opera sobre las ecuaciones y llega a la conclusión de que, para que exista solución al acertijo, tiene que pasar que
$$R-A=3(n_2-n_1), \qquad R-V=3(n_3-n_1).$$
Es decir, como $n_1$, $n_2$ y $n_3$ tienen que ser enteros, las diferencias entre las poblaciones de camaleones tienen que ser múltiplos de tres. Dado que eso no ocurre en el primer momento, no hay solución al problema.
Otro/a lector/a, que prefiere permanecer en el anonimato, hizo una observación muy interesante. Tomamos el vector de poblaciones inicial, (13,15,17), y obtenemos el resto de dividir por tres, que sería (1,0,2). Ahora consideremos cualquier posible encuentro entre camaleones. Por ejemplo, podemos pasar de (13,15,17) a (12,14,19), si un camaleón rojo y uno azul se convierten en dos verdes. Tomemos otra vez restos y nos queda (0,2,1). Y si se encuentra ahora uno azul y uno verde para dar dos rojos tendremos (14,13,18), que al tomar restos será (2,1,0). Es decir: todas las transformaciones preservan la estructura de los restos, dando una permutación del vector (0,1,2). Por lo tanto, jamás llegaremos a un solo color, que implica que el vector de restos de poblaciones al dividir por 3 sea (0,0,0).
¿Podemos demostrar rigurosamente la conjetura anterior? Sí, pero exige introducir una herramienta matemática que quizá muchos de vosotros no conocéis, que se conoce como aritmética modular. Básicamente, definimos la igualdad de números enteros «módulo 3». Por ejemplo, podemos escribir
22=1 mod 3
Que quiere decir que 22 y 1 son equivalentes «módulo 3», es decir, dan el mismo resto al dividir por 3. Ahora nos damos cuenta de que la operación «sumar 2» y la operación «restar 1» son equivalentes módulo 3. Veamos un ejemplo,
22-1 = 0 mod 3,
22+2 = 0 mod 3.
Ahora podemos proporcionar un esbozo de lo que sería una demostración rigurosa. Cuando tenemos cualquier encuentro entre camaleones, las tres poblaciones cambian. A una de ellas se le suma 2, a las otras dos se les resta uno. Pero, módulo 3, la operación realizada sobre las tres es la misma. Así que si partimos de valores diferentes siempre llegaremos a valores diferentes. De alguna manera, tenemos una «cantidad conservada», como la energía o el momento, que es una de nuestras cosas favoritas en física, sólo que en este caso es… ¡módulo 3!
Esperamos que el acertijo os haya resultado interesante. No dudéis en escribirnos si tenéis alguna duda más, o si queréis sugerirnos algún otro acertijo de dificultad similar para el blog.
Autores: Álex Jurado i López, Pedro García Segador y Javier Rodríguez Laguna.
Álex Jurado i López y Pedro García Segador son estudiantes del Grado en Física de la UNED. Javier Rodríguez Laguna es profesor del Departamento de Física Fundamental de la UNED.