Autor: Javier Rodríguez Laguna.
Los hechos: el módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es $g\approx 9.8\ \text{m}/\text{s}^2$. Y si elevamos $\pi$ al cuadrado obtenemos $\pi^2 = 9.87$.
La pregunta: ¿Es mera casualidad?
La respuesta ingenua: por supuesto, basta con cambiar las unidades y la semejanza entre ambos valores habrá desaparecido. Si en lugar de medir la longitud en metros la medimos en pies, o en yardas, o en millas náuticas, adiós a la similitud.
Y sin embargo… una breve investigación histórica nos sugiere que no se trata de algo casual. ¿Cómo es eso posible?
Por supuesto, si hay una conexión entre ambos valores debe ser histórica, no física. La similitud entre ellos tiene lugar tan sólo en la superficie de la Tierra, y usando las unidades del sistema internacional. Pero, ¿cómo se define el metro? Pues la definición ha evolucionado a lo largo del tiempo (y en ciertos países, como Estados Unidos, aún se empeñan en usar unidades relacionadas con la longitud de sus extremidades).
Durante mucho tiempo se definió el metro como la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre… No parece una definición muy elegante, ¿verdad? ¿quién tuvo la idea para una definición tan extraña? Pues la historia tuvo lugar durante la Revolución Francesa. La Asamblea Nacional buscaba una unidad de longitud que fuera universal, y se les ocurrió que el tamaño de la Tierra era una medida al alcance de todos los seres humanos. ¿Por qué la diezmillonésima parte de un cuadrante? ¿Por qué no otro valor? Pues para responder a esa pregunta debemos dar un paso atrás en el tiempo, y retroceder a las primeras propuestas de una medida de longitud universal.
El siglo XVII fue una época de gran valentía intelectual, que a veces se confundía con la temeridad. John Wilkins fue uno de los fundadores de la Royal Society inglesa, y en 1668 publicó An Essay Towards a Real Character, and a Philosophical Language, donde proponía la creación de una lengua universal para comunicación entre eruditos, científicos, diplomáticos, comerciantes y viajeros. El objetivo de Wilkins no era sustituir a las lenguas naturales, sino complementarlas. En el texto, de pasada, proponía superar el caos de unidades de medidas regionales de la época inventando una medida de longitud universal, que se llamaría el metro. ¿Y cómo se podría definir? Pues la idea era bien interesante.
Wilkins propuso definir el metro como la longitud del péndulo que bate segundos. Un siglo antes, Galileo había comprobado que el periodo de un péndulo que realice oscilaciones pequeñas no depende de la masa ni de la amplitud de la oscilación. Según la leyenda, la idea se le ocurrió en misa, midiendo con su propio pulso el periodo de oscilación de una lámpara enorme en la catedral de Florencia. Uno podría pensar que allí comenzaron las fricciones de Galileo con la Iglesia, pero eso queda en el terreno de la conjetura.
Un péndulo que bate segundos tiene un periodo $T=2$ s (la ida y la vuelta). En lenguaje actual sabemos que el periodo del péndulo se obtiene a partir de su longitud y de la aceleración de la gravedad,
$$T=2\pi\sqrt{\ell\over g}.$$
Ahora supongamos que estamos en un sistema de coordenadas en el que cuando $\ell=1$ m, el periodo es $T=2$ s. Sustituyendo en la ecuación anterior comprobaremos que…
$$g=\pi^2, \text{m/s}^2.$$
La idea de Wilkins fue retomada por Huygens, y de él pasó a Talleyrand, que fue quien la propuso a los revolucionarios franceses. Era una idea enormemente elegante, pero… para entonces los físicos ya sabían que no era práctica. ¿Por qué? Bueno, la aceleración de la gravedad no es la misma en todos los lugares de la Tierra, de forma que la definición de metro variaría de un punto a otro. Como sabéis, la Tierra está achatada por los polos, y la gravedad es allí ligeramente menor. La solución que adoptó la Asamblea Nacional Francesa fue pragmática, pero poco elegante. Obligó a la creación de metros patrón, es decir, barras de metal con una longitud «exacta» de un metro, mantenidas a temperatura constante para que no se dilataran. Las más famosas fueron las barra de platino e iridio de la Oficina de Pesos y Medidas francesa, en Sèvres, que servían para calibrar otras barras similares que se llevaban a otros países.
Hoy en día el metro se define como la distancia que recorre la luz en el vacío en un intervalo de 1/299792458 segundos. No sé qué pensaréis vosotros, pero a mí me sigue haciendo más gracia la definición de Wilkins, pese a las dificultades.
Autor: Javier Rodríguez Laguna.
Javier Rodríguez Laguna es profesor del Departamento de Física Fundamental de la UNED.