{"id":4117,"date":"2026-01-12T09:32:28","date_gmt":"2026-01-12T08:32:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=4117"},"modified":"2026-05-18T11:04:59","modified_gmt":"2026-05-18T09:04:59","slug":"teoria-de-perturbaciones-el-metodo-de-las-multiples-escalas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2026\/01\/12\/teoria-de-perturbaciones-el-metodo-de-las-multiples-escalas\/","title":{"rendered":"Teor\u00eda de perturbaciones: el m\u00e9todo de las m\u00faltiples escalas"},"content":{"rendered":"\n

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

En una entrada anterior, Peque\u00f1o pero mat\u00f3n: breve introducci\u00f3n a la teor\u00eda de perturbaciones<\/a>, nos preguntamos c\u00f3mo pod\u00edamos obtener soluciones aproximadas a problemas donde no exist\u00eda soluci\u00f3n anal\u00edtica. En un primer momento, utilizamos un caso conocido con soluci\u00f3n anal\u00edtica para ilustrar el procedimiento, el oscilador arm\u00f3nico amortiguado:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\frac{d^2 x(t)}{d t^2} + 2 \\varepsilon \\frac{d x(t)}{d t} + x(t) = 0, \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(1)}
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

donde $\\varepsilon$ era un par\u00e1metro peque\u00f1o, es decir, $\\varepsilon \\ll 1$.<\/p>\n\n\n\n

Sin embargo, cuando quisimos resolver este problema utilizando teor\u00eda de perturbaciones, nos percatamos de que la soluci\u00f3n obtenida diverg\u00eda debido a la aparici\u00f3n de t\u00e9rminos seculares. Esto supon\u00eda un problema, pues si para un problema con soluci\u00f3n anal\u00edtica no podemos obtener una aproximaci\u00f3n perturbativa aceptable, \u00bfc\u00f3mo podemos conseguir una soluci\u00f3n aproximada fiable para un problema m\u00e1s complicado?<\/p>\n\n\n\n

El m\u00e9todo que exponemos a continuaci\u00f3n tiene en cuenta la existencia en el problema en cuesti\u00f3n de varias escalas de tiempo diferenciadas; por ejemplo, en el oscilador arm\u00f3nico amortiguado, se nos ocurren dos escalas muy diferentes: por un lado, el periodo de las oscilaciones y, por otro, el tiempo de decaimiento del sistema. Cuando se introduce una perturbaci\u00f3n peque\u00f1a, este m\u00e9todo suele fallar al describir correctamente la soluci\u00f3n en tiempos largos, en particular durante el r\u00e9gimen transitorio. La perturbaci\u00f3n induce generalmente una modulaci\u00f3n lenta de la amplitud y\/o de la fase. La uniformidad del desarrollo perturbativo se rompe debido a la no uniformidad de las distintas escalas de tiempo, lo que da lugar a la aparici\u00f3n de t\u00e9rminos seculares y a la p\u00e9rdida de validez de la aproximaci\u00f3n. En efecto, la presencia de peque\u00f1as perturbaciones activas durante un largo periodo de tiempo tiene un efecto acumulativo no despreciable. El m\u00e9todo de m\u00faltiples escalas, que ahora introducimos, permite superar esta dificultad al incorporar expl\u00edcitamente las escalas de tiempo r\u00e1pidas y lentas que gobiernan la evoluci\u00f3n del sistema. Este formalismo ya no considera al tiempo $t$ como la \u00fanica variable relevante en la evoluci\u00f3n del sistema, sino que introduce nuevas variables totalmente independientes entre s\u00ed, cada una de las cuales representa un tiempo caracter\u00edstico del sistema que describe la evoluci\u00f3n de fen\u00f3menos m\u00e1s lentos o m\u00e1s r\u00e1pidos. Nos referiremos a estas nuevas variables como $t_0$, $t_1$, $t_2$, $\\ldots$, $t_m$ y se definen con respecto al tiempo absoluto $t$ como $t_i = \\varepsilon^{i} t $.<\/p>\n\n\n\n

Veamos un ejemplo de aplicaci\u00f3n del m\u00e9todo utilizando el caso que nos ata\u00f1e desde la entrada anterior, el problema (1). En un primer momento, vamos a utilizar dos escalas de tiempo: $t_0 = t$ y $t_1 = \\varepsilon t$. Eso significa que nuestra expansi\u00f3n directa de la variable $x$ es, en este caso:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
x(t_0, t_1) = \\sum_{i=0}^{\\infty} \\varepsilon^{i} x_i (t_0, t_1) = x_0(t_0, t_1)+\\varepsilon x_1(t_0, t_1) + \\varepsilon^2 x_2(t_0, t_1) + \\cdots,
\\nonumber
\\end{eqnarray} <\/p>\n\n\n\n

donde la dependencia con las dos nuevas escalas de tiempo aparece expl\u00edcitamente en los argumentos de las variables. No obstante, no podemos introducir directamente esta expansi\u00f3n en la ecuaci\u00f3n diferencial original, al no haber desarrollado las derivadas con respecto al tiempo absoluto $t$. Dado que ahora existen dos escalas de tiempo diferentes, derivar con respecto al tiempo producir\u00e1 t\u00e9rminos adicionales que entrar\u00e1n como potencias de $\\varepsilon$. De hecho, si expresamos la primera derivada utilizando la regla de la cadena tenemos:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\frac{d}{dt} = \\frac{\\partial t}{\\partial t_0} \\frac{\\partial t_0}{\\partial t} + \\frac{\\partial t}{\\partial t_1} \\frac{\\partial t_1}{\\partial t} = \\frac{\\partial t}{\\partial t_0} + \\varepsilon \\frac{\\partial t}{\\partial t_1},
\\nonumber
\\end{eqnarray} <\/p>\n\n\n\n

y, escribiendo la segunda derivada en funci\u00f3n de las nuevas escalas de tiempo:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\frac{d^2}{dt^2} = \\frac{d}{dt} \\left( \\frac{d}{dt} \\right) = \\frac{d}{dt} \\left( \\frac{\\partial t}{\\partial t_0} + \\varepsilon \\frac{\\partial t}{\\partial t_1} \\right) = \\frac{\\partial^2}{\\partial t_0^2} +2 \\varepsilon \\frac{\\partial^2}{\\partial t_0 \\partial t_1} + \\varepsilon^2 \\frac{\\partial^2}{\\partial t_1^2},
\\nonumber
\\end{eqnarray} <\/p>\n\n\n\n

donde se ha usado el teorema de Schwarz para establecer la igualdad de las derivadas cruzadas.<\/p>\n\n\n\n

Ahora s\u00ed estamos en condiciones de reescribir el desarrollo perturbativo completo del problema, que en orden 0 y en orden $\\varepsilon$ se escriben como:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{align}
\\mathrm{Orden}\\, 0: \\quad \\frac{\\partial^2 x_0(t_0, t_1)}{\\partial t_0^2} + x_0(t_0, t_1) &= 0. \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(2)} \\\\
\\mathrm{Orden}\\, \\varepsilon: \\quad \\frac{\\partial^2 x_1(t_0, t_1)}{\\partial t_0^2} + x_1(t_0, t_1) &= -2 \\frac{\\partial^2 x_0 (t_0, t_1)}{\\partial t_0 \\partial t_1} -2 \\frac{\\partial x_0 (t_0, t_1)}{\\partial t_0}. \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(3)}
\\end{align}<\/p>\n\n\n\n

Es interesante notar que, a orden 0, la ecuaci\u00f3n a resolver es id\u00e9ntica que utilizando la expansi\u00f3n directa, salvo en su dependencia funcional, pues ahora aparecen escalas de tiempo adicionales. Resolver a orden 0 la ecuaci\u00f3n (2) arroja:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
x_0 (t_0, t_1) = A(t_1) \\cos t_0 + B(t_1) \\sin t_0, \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(4)}
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

donde $A$ y $B$ son constantes de integraci\u00f3n que dependen de la escala temporal $t_1$ y no podemos determinarlas \u00fanicamente recurriendo a las condiciones iniciales del problema. Es necesario acudir al siguiente orden perturbativo para obtener expresiones directas para ambas amplitudes. Si introducimos la expresi\u00f3n de $x_0$ en (3):<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\frac{\\partial^2 x_1(t_0, t_1)}{\\partial t_0^2} + x_1(t_0, t_1) = 2 \\sin (t_0) \\left[ \\frac{\\partial A(t_1)}{\\partial t_1} + A(t_1) \\right] – 2 \\cos (t_0) \\left[ \\frac{\\partial B(t_1)}{\\partial t_1} + B(t_1) \\right],
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

obtenemos, en el lado izquierdo de la ecuaci\u00f3n, la misma estructura que a orden 0; esto es, la ecuaci\u00f3n del oscilador arm\u00f3nico pero para $x_1$. En el lado derecho, sin embargo, existe un t\u00e9rmino adicional que no obten\u00edamos en la expansi\u00f3n directa, y que viene dado por las derivadas de $A$ y $B$. <\/p>\n\n\n\n

Resolviendo la ecuaci\u00f3n diferencial para $x_1$ volvemos a encontrar el mismo inconveniente que en la expansi\u00f3n directa: la aparici\u00f3n de t\u00e9rminos seculares, originados por las soluciones particulares que aparecen cuando el sistema es forzado con la misma frecuencia que la frecuencia natural de oscilaci\u00f3n del sistema. Sin embargo, ahora existe una manera de conseguir eliminar los elementos que producen t\u00e9rminos seculares anulando el lado derecho de la ecuaci\u00f3n. Esto lo conseguimos igualando a 0 los t\u00e9rminos entre corchetes resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{align}
\\frac{\\partial A(t_1)}{\\partial t_1} + A(t_1) &= 0, \\\\
\\frac{\\partial B(t_1)}{\\partial t_1} + B(t_1) &= 0,
\\end{align}<\/p>\n\n\n\n

cuya soluci\u00f3n es $A(t_1) = a e^{-t_1}$ y $B(t_1) = b e^{-t_1}$, donde ahora $a$ y $b$ son constantes que no dependen de ninguna escala temporal y pueden ser obtenidas mediante las condiciones iniciales. Sustituyendo las expresiones de $A(t_1)$ y $B(t_1)$ en la ecuaci\u00f3n (4) y usando como condiciones iniciales $x(0) = x_0$ y $x'(0) = x’_0$, la soluci\u00f3n aproximada a primer orden puede escribirse como:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
x_0 (t_0, t_1) = x_0 e^{-t_1} \\cos t_0 + x’_0 e^{-t_1} \\sin t_0,
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

que finalmente expresamos en funci\u00f3n de $t$ como:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
x (t) = x_0 e^{-\\varepsilon t} \\cos t + x’_0 e^{-\\varepsilon t} \\sin t. \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(5)}
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

La potencia del m\u00e9todo de m\u00faltiples escalas se plasma en la figura siguiente, donde se muestra la soluci\u00f3n exacta del problema (1), la soluci\u00f3n perturbativa obtenida mediante expansi\u00f3n directa (que ya vimos en una entrada anterior<\/a>), y la soluci\u00f3n que arroja el m\u00e9todo de las m\u00faltiples escalas (5). De nuevo, las condiciones iniciales son $x(0)=1$ y $x'(0)=0$, y el valor del par\u00e1metro $\\varepsilon$ es 0.1.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

En este caso, la soluci\u00f3n dada por el m\u00e9todo de m\u00faltiples escalas (rojo) es casi id\u00e9ntica a la soluci\u00f3n exacta (azul), mostrando el decaimiento exponencial que la expansi\u00f3n directa (verde) no era capaz de exhibir. El m\u00e9todo perturbativo que hemos presentado en esta entrada captura el comportamiento transitorio del sistema mediante la resoluci\u00f3n de las ecuaciones de amplitud, algo que no aparec\u00eda en el caso de la straightforward expansion. La soluci\u00f3n de m\u00faltiples escalas muestra la escala de tiempo correspondiente al periodo de las oscilaciones, de orden $\\mathcal{O}(1)$, y la escala de tiempo correspondiente al decaimiento de la amplitud de las oscilaciones, de orden $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-1})$. De hecho, es posible ir m\u00e1s lejos y calcular la soluci\u00f3n a segundo orden para descubrir otra escala temporal, $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-2})$, que corresponde a la variaci\u00f3n temporal del \u00e1ngulo de fase.<\/p>\n\n\n\n

En definitiva, el m\u00e9todo de las m\u00faltiples escalas es un m\u00e9todo robusto, vers\u00e1til y extremadamente \u00fatil para obtener soluciones aproximadas fiables de problemas complejos. En estas l\u00edneas hemos esbozado una aplicaci\u00f3n muy espec\u00edfica del m\u00e9todo de m\u00faltiples escalas, sin pensar en la generalizaci\u00f3n del m\u00e9todo. Por ejemplo, para obtener la ecuaci\u00f3n de amplitud hemos hecho uso de lo que conocemos sobre el oscilador arm\u00f3nico, es decir, que los t\u00e9rminos proporcionales a $\\sin(t_0)$ y $\\cos(t_0)$ producen divergencias de la soluci\u00f3n. Anulando estos t\u00e9rminos hemos conseguido obtener las ecuaciones de amplitud. Una pregunta razonable ser\u00eda plantearse qu\u00e9 ocurre si el miembro izquierdo que aparece en las ecuaciones (2) y (3) no es la ecuaci\u00f3n del oscilador arm\u00f3nico. Entonces, \u00bfc\u00f3mo encontramos las ecuaciones de amplitud que nos dan la soluci\u00f3n del sistema?<\/p>\n\n\n\n

Si esta entrada os ha parecido interesante, pod\u00e9is encontrar mucha m\u00e1s informaci\u00f3n sobre los m\u00e9todos perturbativos, en general, en esta excelente obra [1]. Adem\u00e1s, para una introducci\u00f3n m\u00e1s amena al m\u00e9todo de las m\u00faltiples escalas y otros aspectos de la teor\u00eda de sistemas din\u00e1micos, os recomendamos este enlace<\/a> [2], que forma parte de una serie de interesant\u00edsimos videos realizados por el Profesor S. Strogatz, de la Universidad de Cornell.<\/p>\n\n\n\n

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez es investigador del Departamento de F\u00edsica Aplicada II de la Universidad de M\u00e1laga.<\/p>\n\n\n\n

Referencias:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

[1] J. Kevorkian and J. D. Cole, Perturbation methods in applied mathematics, vol. 34.
Springer, New York, 1981.<\/p>\n\n\n\n

[2] Steven Strogatz, 27 de abril de 2021. Lecture 22: Introduction to the method of multiple scales. Youtube. https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=kkN13nEn2WA<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez. En una entrada anterior, Peque\u00f1o pero mat\u00f3n: breve introducci\u00f3n a la teor\u00eda de perturbaciones, nos preguntamos c\u00f3mo pod\u00edamos obtener soluciones aproximadas a problemas donde no exist\u00eda soluci\u00f3n anal\u00edtica. En un primer momento, utilizamos un caso conocido Seguir leyendo →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":4209,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[71],"tags":[67,63,103],"class_list":["post-4117","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog-uned-es","tag-matematicas","tag-mecanica","tag-sistemas-dinamicos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4117","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4117"}],"version-history":[{"count":47,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4117\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5009,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4117\/revisions\/5009"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media\/4209"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4117"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4117"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4117"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}