{"id":3979,"date":"2025-12-22T11:57:34","date_gmt":"2025-12-22T10:57:34","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=3979"},"modified":"2026-01-07T18:37:53","modified_gmt":"2026-01-07T17:37:53","slug":"la-polea-costumbrista","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/12\/22\/la-polea-costumbrista\/","title":{"rendered":"La polea costumbrista"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Autor:&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.uned.es\/universidad\/docentes\/ciencias\/adolfo-vazquez-quesada.html\">Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cuando comenzamos el estudio de la din\u00e1mica en un curso de f\u00edsica general, la forma de proceder a la hora de resolver un problema es, en principio, bastante sistem\u00e1tica:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Se elige un sistema de referencia.<\/li>\n\n\n\n<li>Se traza un diagrama de fuerzas<\/li>\n\n\n\n<li>En base al diagrama y con la segunda Ley de Newton en la mano, se plantean las ecuaciones de la din\u00e1mica que permitir\u00e1n resolver el problema.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por supuesto puede no ser tan f\u00e1cil resolver el problema en cuesti\u00f3n, pues a veces, la elecci\u00f3n de un buen sistema de referencia es importante para tener \u00e9xito, o puede que el sistema que manejemos est\u00e9 a su vez acelerado y haya que tener en cuenta las fuerzas de inercia, o quiz\u00e1s el p\u00e9rfido profesor haya incluido alguna dificultad extra. Pero, en principio, todos los problemas de din\u00e1mica que puedan aparecer durante el primer curso podr\u00e1n ser dominados de esta manera. \u00bfTodos? \u00a1No! Hay un problema que se resiste cual peque\u00f1a aldea gala a la invasi\u00f3n romana: la polea. En realidad esto no es as\u00ed, pero nadie lo dir\u00eda viendo c\u00f3mo la mayor\u00eda de los estudiantes resuelven los t\u00edpicos problemas de poleas. Veamos dos de los esquemas que los alumnos usan m\u00e1s a menudo cuando se enfrentan a ellos:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Cuerpo unidimensional.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En este esquema, lo que se suele hacer es considerar los cuerpos de la polea y la propia cuerda como si formaran un \u00fanico cuerpo unidimensional. En la siguiente figura se ve c\u00f3mo es el sistema unidimensional equivalente:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" width=\"2560\" height=\"895\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-scaled.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4009\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-scaled.png 2560w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-300x105.png 300w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-1024x358.png 1024w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-768x268.png 768w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-1536x537.png 1536w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-2048x716.png 2048w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1-1-1320x461.png 1320w\" sizes=\"(max-width: 2560px) 100vw, 2560px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Los pesos de los cuerpos 1 y 2 se han denotado como $P_1$ y $P_2$ respectivamente, y la tensi\u00f3n de la cuerda como $T$. Si bien los alumnos que lo hacen as\u00ed no dibujan el esquema de la derecha, cuando hablas con ellos queda claro que es este esquema equivalente el que tienen en mente. En este, se considera al sistema como un \u00fanico cuerpo, de manera que las tensiones son fuerzas internas del cuerpo y no se tienen en cuenta. Al aplicar la segunda Ley de Newton en este sistema se obtiene<br>\\begin{eqnarray} P_2 &#8211; P_1 = \\left(m_1 + m_2\\right)a. \\end{eqnarray}<br>N\u00f3tese que como se considera un \u00fanico cuerpo, la masa que se utiliza en el t\u00e9rmino de inercia (el de la derecha) es la suma de las masas de los cuerpos 1 y 2.<\/p>\n\n\n\n<ol start=\"2\" class=\"wp-block-list\">\n<li>Siguiendo la cuerda<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dir\u00eda que este es el esquema m\u00e1s utilizado. Se escribe una ecuaci\u00f3n de fuerzas por cada cuerpo. Para determinar el sentido de las fuerzas, se elige una direcci\u00f3n de movimiento de la polea, y las fuerzas que siguen ese movimiento se toman como positivas y las que van en sentido contrario como negativas. Por ejemplo, en la siguiente figura, se ha elegido el sentido de movimiento hacia el lado del cuerpo 2, tal y como indica la flecha curva<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"206\" height=\"387\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox2-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4007\" style=\"width:167px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox2-1.png 206w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox2-1-160x300.png 160w\" sizes=\"(max-width: 206px) 100vw, 206px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">As\u00ed pues, siguiendo la cuerda las ecuaciones de las fuerzas para cada cuerpo son<br>\\begin{eqnarray}<br>T &#8211; P_1 = m_1 a,<br>\\nonumber\\\\<br>P_2 &#8211; T = m_2 a.<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<br>Si sumamos ambas ecuaciones, se obtiene la misma que en el esquema unidimensional<br>del primer punto:<br>\\begin{eqnarray}<br>P_2 &#8211; P_1 = \\left(m_1 + m_2\\right)a.<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Como vemos, ambos esquemas llevan al resultado correcto, pero no siguen los pasos habituales que se suelen utilizar para resolver los problemas de din\u00e1mica: en el primero hacemos una transformaci\u00f3n del sistema a otro equivalente y en el segundo no definimos de forma expl\u00edcita un sistema de referencia estandar. \u00bfY qu\u00e9 tiene de especial la polea para que la gente no siga el esquema que sirve para todos los dem\u00e1s problemas? No lo tengo completamente claro, pero creo que es una cuesti\u00f3n de costumbre: si una mec\u00e1nica de resoluci\u00f3n funciona y es sencilla de seguir, no solemos cambiarla por otra mejor hasta que no aparece algo nuevo que no podamos resolver con nuestro esquema. Por esta raz\u00f3n, vamos a a\u00f1adir un ingrediente m\u00e1s al problema que haga necesario sustituir dichas costumbres. En concreto, vamos a suponer que la polea tiene una aceleraci\u00f3n $a_p$, tal y como se muestra en la siguiente figura:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" width=\"439\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_acelerada-2-439x1024.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4005\" style=\"aspect-ratio:0.4287061468465083;width:142px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_acelerada-2-439x1024.png 439w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_acelerada-2-129x300.png 129w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_acelerada-2.png 591w\" sizes=\"(max-width: 439px) 100vw, 439px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esa aceleraci\u00f3n puede venir, por ejemplo, de que, a su vez, la polea cuelgue de una cuerda que hace una fuerza hacia arriba. O si la polea pierde la sujeci\u00f3n y cae, ser\u00eda la fuerza de la gravedad la que determinar\u00eda esa aceleraci\u00f3n, que ir\u00eda hacia abajo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si utilizamos el primer esquema, el del cuerpo unidimensional equivalente, tendr\u00edamos algo parecido a lo siguiente:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"312\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema-1024x312.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4011\" style=\"aspect-ratio:3.282067480475186;width:466px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema-1024x312.png 1024w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema-300x91.png 300w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema-768x234.png 768w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema-1536x468.png 1536w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema-1320x402.png 1320w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox1_problema.png 1968w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vemos que la mitad del cuerpo sufrir\u00eda esta aceleraci\u00f3n hacia un lado, mientras que la otra mitad lo sufrir\u00eda hacia el otro. No queda muy claro c\u00f3mo resolver un problema en el que diferentes partes de un mismo cuerpo sufren diferente aceleraci\u00f3n. Si fu\u00e9ramos fieles a esta visi\u00f3n, llegar\u00edamos a la conclusi\u00f3n de que las fuerzas asociadas a la aceleraci\u00f3n $a_p$ no tienen ning\u00fan efecto, pues se anulan (la que va hacia la izquierda con la que va hacia la derecha), o que la cuerda no se va a mantener tensa, pues los cuerpos aceleran uno hacia el otro. Podemos adelantar que ninguna de estas cosas es correcta, por lo que en principio, no queda claro c\u00f3mo incluir esta aceleraci\u00f3n en las ecuaciones de Newton bas\u00e1ndonos solo en dicho esquema.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Y si consideramos el segundo esquema, en el que seguimos la cuerda para definir los signos de las fuerzas, \u00bfc\u00f3mo se abordar\u00eda una polea acelerada? Es verdad que entendiendo el problema en profundidad no es muy complicado incluir la aceleraci\u00f3n en las ecuaciones, pero solo con este esquema en mente no es f\u00e1cil estar seguro de c\u00f3mo hacerlo, porque la aceleraci\u00f3n $a_p$ de la polea no sigue la l\u00ednea de la cuerda, por lo que no queda claro qu\u00e9 signo ponerle ni d\u00f3nde, o al menos es lo que se deduce de los serios fallos que muchos estudiantes que siguen este esquema muestran cuando resuelven dicho problema.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00bfY c\u00f3mo podemos entonces resolver un problema como este con garant\u00edas de que lo estamos haciendo correctamente? La forma m\u00e1s sencilla es seguir el mismo esquema que en cualquier otro problema de din\u00e1mica: se elige un sistema de referencia, se hace un diagrama de fuerzas y se aplica la segunda Ley de Newton. Comencemos por lo primero: el sistema de referencia. En la siguiente figura se indican el sistema de referencia que hemos elegido, as\u00ed como el diagrama de fuerzas.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"830\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar-830x1024.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4015\" style=\"aspect-ratio:0.8105409557290356;width:201px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar-830x1024.png 830w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar-243x300.png 243w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar-768x947.png 768w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar.png 888w\" sizes=\"(max-width: 830px) 100vw, 830px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por lo tanto, los vectores que vayan hacia arriba ser\u00e1n positivos, y los que vayan hacia abajo negativos. Si suponemos que la polea acelera hacia el cuerpo 2, las ecuaciones del sistema ser\u00e1n<br>\\begin{eqnarray}<br>T-P_1 &amp;=&amp; m_1 a,<br>\\nonumber\\\\<br>T-P_2 &amp;=&amp; -m_2 a,<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<br>que son equivalentes a las que obten\u00edamos en los dos esquemas que vimos al principio. Pero ahora, cuando nos planteamos el problema de la polea acelerada, resulta mucho m\u00e1s natural introducir la aceleraci\u00f3n $a_p$. Esto se hace como en cualquier otro problema con cuerpos que est\u00e1n en un sistema de referencia no inercial: a\u00f1adiendo dicha aceleraci\u00f3n a los t\u00e9rminos de inercia (t\u00e9rminos de la derecha). En este caso, el signo de $a_p$ queda muy claro con el sistema de referencia elegido, siendo positivo para ambos cuerpos (pues va hacia arriba). Las ecuaciones quedan<br>\\begin{eqnarray}<br>T-P_1 &amp;=&amp; m_1 \\left(a + a_p\\right),<br>\\nonumber\\\\<br>T-P_2 &amp;=&amp; m_2 \\left(-a + a_p\\right).\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(1)}<br>\\label{eqs_finales}<br>\\end{eqnarray}<br>N\u00f3tese que los signos tomados en el caso en el que segu\u00edamos la cuerda ser\u00edan los mismos que los que obtendr\u00edamos suponiendo sistemas de referencia diferentes para cada cuerpo<br>como los indicados en la siguiente figura, lo cual nos da una pista sobre c\u00f3mo incluir la aceleraci\u00f3n $a_p$ en las ecuaciones obtenidas en ese caso.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"951\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar2-1024x951.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-4017\" style=\"aspect-ratio:1.077143263038172;width:266px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar2-1024x951.png 1024w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar2-300x279.png 300w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar2-768x713.png 768w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/12\/polea_aprox_standar2.png 1173w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Merece la pena analizar un poco las ecuaciones (1) que hemos obtenido. Si restamos la segunda ecuaci\u00f3n a la primera, se obtiene<br>\\begin{eqnarray}<br>-P_1 + P_2 = m_1 \\left(a + a_p\\right) &#8211; m_2 \\left(-a + a_p\\right),<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<br>de donde deducimos la aceleraci\u00f3n:<br>\\begin{eqnarray}<br>a=\\frac{\\left(m_2 &#8211; m_1\\right)}{\\left(m_1 + m_2\\right)}\\left(g + a_p\\right).<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<br>Si hacemos $a_p=0$ en esta ecuaci\u00f3n, recuperamos la soluci\u00f3n que se tendr\u00eda si la polea no estuviera acelerada. Tambi\u00e9n es importante darse cuenta de que si la polea cae libremente, entonces $a_p = -g$, que al sustituirlo en la ecuaci\u00f3n anterior dar\u00eda el resultado $a = 0$, por lo que los cuerpos 1 y 2 no se acelerar\u00edan respecto de la polea. Es decir, si inicialmente los cuerpos estuvieran en reposo respecto a la polea y esta de repente cayera por efecto de la gravedad, la polea junto con los cuerpos caer\u00edan como un todo. Por otro lado, si suponemos que la aceleraci\u00f3n $a_p$ va hacia arriba, la aceleraci\u00f3n de los cuerpos respecto de la polea ser\u00e1 mayor cuanto mayor sea la aceleraci\u00f3n $a_p$ de la polea.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Autor:&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.uned.es\/universidad\/docentes\/ciencias\/adolfo-vazquez-quesada.html\">Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Adolfo V\u00e1zquez Quesada es profesor del Departamento de F\u00edsica Fundamental de la UNED.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Autor:&nbsp;Adolfo V\u00e1zquez Quesada. 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