Pero, \u00bfqu\u00e9 sucede si llevamos esta idea al fascinante mundo de la f\u00edsica cu\u00e1ntica?<\/p>\n\n\n\n
Imagina que esos nodos ahora son sitios cu\u00e1nticos donde pueden habitar part\u00edculas. Las conexiones entre ellos representar\u00edan las interacciones f\u00edsicas que les permiten moverse o saltar de un sitio a otro. Podemos describir estas interacciones mediante una matriz de adyacencia<\/strong>, que nos dice d\u00f3nde est\u00e1n las conexiones f\u00edsicas. Por ejemplo, imagina un sistema con 4 sitios conectados en l\u00ednea: 1 \u2212 2 \u2212 3 \u2212 4. Este grafo f\u00edsico puede representarse mediante una matriz de adyacencia, donde cada fila y columna corresponde a un nodo del sistema (la primera a 1, la segunda a 2, y as\u00ed sucesivamente). La matriz refleja las conexiones f\u00edsicas entre los nodos: un 1 indica que dos nodos est\u00e1n conectados y un 0 que no lo est\u00e1n.<\/p>\n\n\n\n Ahora bien, en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, existe un fen\u00f3meno que desaf\u00eda nuestra intuici\u00f3n cl\u00e1sica: el entrelazamiento<\/strong>. Es una correlaci\u00f3n tan fuerte y no local entre partes de un sistema que no tiene an\u00e1logo en el mundo macrosc\u00f3pico. Piensa en ello como una conexi\u00f3n invisible que va m\u00e1s all\u00e1 de los enlaces f\u00edsicos evidentes, algo as\u00ed como una ruta oculta en el mapa del metro. Dos sitios cu\u00e1nticos podr\u00edan no estar directamente conectados en nuestro grafo f\u00edsico original, pero a\u00fan as\u00ed compartir una gran cantidad de informaci\u00f3n cu\u00e1ntica simplemente por estar entrelazados.<\/p>\n\n\n\n Aqu\u00ed es donde surge la pregunta m\u00e1s intrigante: \u00bfpodr\u00eda este entrelazamiento cu\u00e1ntico generar su propia red entre los nodos? \u00bfUna especie de grafo cu\u00e1ntico emergente que quiz\u00e1s no se parezca en nada al grafo original de las conexiones f\u00edsicas? <\/p>\n\n\n\n Esta es la cuesti\u00f3n que abord\u00e9 en mi trabajo de fin de grado<\/strong> en F\u00edsica, defendido el curso pasado. Junto a mi tutor, explor\u00e9 la relaci\u00f3n entre las conexiones f\u00edsicas de un sistema y su estructura de entrelazamiento. El objetivo era determinar hasta qu\u00e9 punto ambas geometr\u00edas \u2014la f\u00edsica y la cu\u00e1ntica\u2014 se parecen… o no. Para ello, consideramos un modelo simple, pero representativo: un conjunto de sitios cu\u00e1nticos donde habitan bosones duros<\/strong>, es decir, part\u00edculas que no pueden compartir el mismo sitio. Estas part\u00edculas pueden saltar de un sitio a otro cuando existe una conexi\u00f3n f\u00edsica entre ellos, lo que se conoce como interacci\u00f3n de hopping<\/em>. La estructura del sistema queda entonces definida por un grafo, donde los enlaces indican qu\u00e9 sitios est\u00e1n conectados y permiten dichos saltos.<\/p>\n\n\n\n En la siguiente figura se muestra un ejemplo: hay tres bosones \u2014representados por esferas de Bloch\u2014 que pueden moverse libremente entre los distintos sitios, siempre que estos no est\u00e9n ocupados.<\/p>\n\n\n\n En la figura hemos dibujado solo una configuraci\u00f3n de las muchas posibles, cuya cantidad est\u00e1 dada por el n\u00famero combinatorio $C_{7,3}$, siempre respetando la regla de que no puede haber m\u00e1s de uno en cada nodo. Ahora bien, en lugar de analizar cada configuraci\u00f3n de forma aislada, la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica nos ofrece una herramienta mucho m\u00e1s elegante: todas las diferentes posibilidades pueden reunirse en un \u00fanico objeto matem\u00e1tico que describe c\u00f3mo se relacionan entre s\u00ed y c\u00f3mo evoluciona el sistema. Ese objeto es el Hamiltoniano<\/strong>, la matriz que condensa toda la f\u00edsica del problema. A partir de \u00e9l podemos calcular cu\u00e1l es el estado fundamental<\/strong> del sistema, es decir, el estado de m\u00ednima energ\u00eda. El procedimiento detallado lo veremos m\u00e1s adelante \u2013no desesperen\u2013. Por ahora basta con quedarse con la idea de que en esa matriz est\u00e1 codificada toda la informaci\u00f3n esencial.<\/p>\n\n\n\n \u00bfY qu\u00e9 nos dice ese estado cu\u00e1ntico sobre la estructura interna del sistema? Aqu\u00ed es donde entra en juego la llamada ley del \u00e1rea del entrelazamiento<\/strong>, que conecta la geometr\u00eda con la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica. Esta ley afirma que el entrelazamiento entre una regi\u00f3n del sistema y el resto escala con el tama\u00f1o de la frontera entre ambas [1]. En otras palabras: si dividimos el sistema en dos grupos de sitios, la cantidad de entrelazamiento entre ambos grupos no depende del tama\u00f1o de cada grupo, sino del n\u00famero de enlaces que atraviesan la divisi\u00f3n. Si la interacci\u00f3n es local, es decir, s\u00f3lo conecta nodos vecinos, entonce el entrelazamiento tambi\u00e9n tiende a serlo.<\/p>\n\n\n\n Pese a haberla llamado una ley<\/em>, no siempre se verifica. Hay sistemas f\u00edsicos para los que el grafo asociado al entrelazamiento no coincide con el definido por las interacciones del Hamiltoniano. Desafortunadamente, a\u00fan no se comprende bien cu\u00e1les son los sistemas para los que dicha violaci\u00f3n se verifica. Dicho conocimiento ser\u00eda muy \u00fatil tanto desde el punto de vista fundamental como desde el aplicado.<\/p>\n\n\n\n Veamos entonces c\u00f3mo extraer el grafo asociado al entrelazamiento del estado fundamental de nuestro Hamiltoniano. La herramienta clave se conoce como matriz de adyacencia del entrelazamiento (MAE)<\/strong> [2,3], que describe las correlaciones cu\u00e1nticas entre los diferentes nodos. La MAE asigna un n\u00famero a cada par de sitios, que indica la cantidad de entrelazamiento<\/em> que existe entre ellos. Una matriz de adyacencia siempre nos dice qui\u00e9n est\u00e1 conectado con qui\u00e9n<\/em>, y la MAE nos dice qui\u00e9n est\u00e1 entrelazado con qui\u00e9n<\/em>. As\u00ed podremos comparar la red f\u00edsica, definida por las interacciones del Hamiltoniano, y la red cu\u00e1ntica, revelada por la MAE. \u00bfCoinciden siempre? Si se cumple la ley del \u00e1rea del entrelazamiento, as\u00ed ser\u00e1.<\/p>\n\n\n\n Esta secci\u00f3n es un poco m\u00e1s t\u00e9cnica, y puede saltarse en una primera lectura.<\/em><\/p>\n\n\n\n La figura siguiente ilustra el procedimiento.<\/p>\n\n\n\n Para empezar, consideraremos un caso sencillo: una cadena de 8 sitios conectados de forma peri\u00f3dica, es decir, donde el primer y el \u00faltimo sitio tambi\u00e9n est\u00e1n conectados, formando un anillo. Cada sitio puede albergar un bos\u00f3n, y los bosones pueden saltar de un sitio a otro seg\u00fan las reglas dictadas por el Hamiltoniano del sistema. Tendremos 4 bosones que viven en esos 8 sitios.<\/p>\n\n\n\n Los resultados obtenidos se representan en forma de matriz. Por un lado, tenemos la matriz de adyacencia del grafo f\u00edsico, que simplemente nos dice qu\u00e9 sitios est\u00e1n conectados por las interacciones del sistema. Por otro lado, construimos la MAE, que recoge cu\u00e1nto entrelazamiento cu\u00e1ntico existe entre cada par de sitios. Ambas matrices tienen la misma forma \u2014una tabla de 8 \u00d7 8 en este caso\u2014, pero reflejan aspectos muy distintos: la primera est\u00e1 dictada por la estructura del Hamiltoniano (qui\u00e9n puede saltar a d\u00f3nde), mientras que la segunda surge del an\u00e1lisis del estado fundamental del sistema (qui\u00e9n est\u00e1 realmente correlacionado con qui\u00e9n). Compararlas nos permite ver hasta qu\u00e9 punto el entrelazamiento respeta la geometr\u00eda del sistema, o si, por el contrario, emergen patrones inesperados.<\/p>\n\n\n\n Para facilitar la interpretaci\u00f3n visual, a la derecha de la MAE se incluye una barra de color que indica la intensidad del entrelazamiento entre cada par de sitios. No se muestran los valores num\u00e9ricos exactos: solo se marcan los extremos \u2014m\u00ednimo y m\u00e1ximo\u2014, ya que lo importante aqu\u00ed no es el n\u00famero en s\u00ed, sino el patr\u00f3n de conexiones que revela el entrelazamiento.<\/p>\n\n\n\n En el ejemplo de la cadena lineal se puede observar que ambas matrices son similares. Esto apoya sin duda la ley del \u00e1rea. Sin embargo, no ocurre as\u00ed en todos los casos.<\/p>\n\n\n\n Despu\u00e9s de analizar el caso de la cadena lineal peri\u00f3dica, podemos preguntarnos qu\u00e9 ocurre si consideramos otras geometr\u00edas. \u00bfC\u00f3mo afecta eso al entrelazamiento cu\u00e1ntico? \u00bfSigue respet\u00e1ndose la ley del \u00e1rea o emergen patrones distintos?<\/p>\n\n\n\n En esta secci\u00f3n exploramos otras configuraciones de conexiones f\u00edsicas \u2014m\u00e1s complejas o menos regulares\u2014 para comprender c\u00f3mo se comporta la red de entrelazamiento. Comparar las MAE obtenidas nos permite entender mejor la relaci\u00f3n entre la forma del sistema y su estructura cu\u00e1ntica interna. Veamos primero la que hemos bautizado como geometr\u00eda puente<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n Los resultados que se obtienen con esta geometr\u00eda son especialmente reveladores:<\/p>\n\n\n\n Vemos as\u00ed los primeros indicios de una separaci\u00f3n clara entre la matriz de adyacencia f\u00edsica y la MAE: aunque comparten estructura formal, pueden reflejar relaciones muy distintas entre los sitios del sistema. Esta diferencia no es casual. Esto se puede entender a la luz de la llamada monogamia del entrelazamiento<\/strong>: a diferencia de las correlaciones cl\u00e1sicas, el entrelazamiento no puede compartirse libremente. Si dos sitios est\u00e1n fuertemente entrelazados entre s\u00ed, no pueden estar igualmente entrelazados con otros. Esto explica por qu\u00e9, en ciertos casos, el entrelazamiento se redistribuye y aparece en lugares inesperados. Es como si el entrelazamiento fuera un recurso limitado: cuando se gasta mucho entre dos sitios, queda menos para el resto.<\/em><\/p>\n\n\n\n Pasamos a ver otro ejemplo, la que hemos bautizado como geometr\u00eda \u00e1rbol:<\/strong><\/p>\n\n\n\n Esta geometr\u00eda, jer\u00e1rquica y con una estructura de ramificaci\u00f3n clara, introduce una topolog\u00eda no muy distinta a la anterior. En este caso, se tienen 13 sitios con 6 bosones. A trav\u00e9s del estudio de la MAE, podemos comentar lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n A lo largo de este recorrido hemos visto que el entrelazamiento cu\u00e1ntico no es solo un concepto muy intrigante de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, sino una herramienta poderosa para entender c\u00f3mo se organizan dichos sistemas. Incluso en modelos sencillos \u2014como part\u00edculas que saltan entre sitios\u2014 pueden surgir estructuras internas sorprendentes, que revelan relaciones ocultas m\u00e1s all\u00e1 de la geometr\u00eda f\u00edsica del sistema. Conceptos como la ley del \u00e1rea del entrelazamiento, la monogamia cu\u00e1ntica o la construcci\u00f3n de la matriz de adyacencia del entrelazamiento nos ofrecen una nueva mirada: no solo sobre lo que est\u00e1 conectado, sino sobre lo que realmente est\u00e1 correlacionado.<\/p>\n\n\n\n El objetivo de este trabajo ha sido analizar la relaci\u00f3n entre la geometr\u00eda de interacci\u00f3n y la distribuci\u00f3n del entrelazamiento en un sistema de bosones duros. A trav\u00e9s de distintos ejemplos, hemos explorado c\u00f3mo el entrelazamiento se reparte en el sistema y hasta qu\u00e9 punto sigue \u2014o no\u2014 la conocida ley del \u00e1rea, revelando que la geometr\u00eda cu\u00e1ntica no siempre refleja de forma evidente las conexiones f\u00edsicas originales.<\/p>\n\n\n\n Para aquellos interesados en seguir profundizando, las referencias incluyen art\u00edculos sobre la MAE y sobre el papel del entrelazamiento como geometr\u00eda emergente, as\u00ed como textos m\u00e1s generales que abordan la f\u00edsica de sistemas cu\u00e1nticos correlacionados.<\/p>\n\n\n\n Adem\u00e1s, todo el c\u00f3digo utilizado para realizar las simulaciones de este trabajo se encuentra disponible en mi repositorio de GitHub: Enlace aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Autor: C\u00e9sar Antonio Carvajal de la Haza.<\/p>\n\n\n\n C\u00e9sar Antonio Carvajal de la Haza, es graduado en F\u00edsica por la UNED.<\/p>\n\n\n\n Referencias<\/strong><\/p>\n\n\n\n [1] J. Eisert, M. Cramer, M.B. Plenio. Colloquium: Area laws for the entanglement entropy<\/em>, Reviews of Modern Physics, 82<\/strong>, 277 (2010). <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Autor: C\u00e9sar Antonio Carvajal de la Haza. \u00bfAlguna vez te has parado a pensar en las redes que nos rodean? 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<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/11\/cosa-1.png\")
entre s\u00ed tienen una l\u00ednea que los une. Los bosones pueden moverse a sitios que no est\u00e9n ocupados y que est\u00e9n conectados entre s\u00ed. Se indican con flechas los movimientos posibles.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\nLa ley del \u00e1rea del entrelazamiento<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/11\/cosa-2.png\")
Procedimiento matem\u00e1tico<\/h2>\n\n\n\n
\n
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<\/figure>\n\n\n\nUn ejemplo sencillo: la cadena peri\u00f3dica<\/h2>\n\n\n\n
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Explorando otras geometr\u00edas<\/h2>\n\n\n\n
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<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/11\/cosa-7-1024x474.png\")
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\n
A modo de cierre<\/h2>\n\n\n\n
[2] S. Singha Roy, S.N. Santalla, J. Rodr\u00edguez-Laguna, G. Sierra. Entanglement as geometry and flow.<\/em> Phys. Rev. B 101, 195134 (2020).
[3] S. Singha Roy, S.N. Santalla, G. Sierra, J. Rodr\u00edguez-Laguna. Link representation of the entanglement entropies for all bipartitions<\/em>. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 54<\/strong>, 305301 (2021).<\/p>\n\n\n\n