{"id":3573,"date":"2025-12-08T10:47:09","date_gmt":"2025-12-08T09:47:09","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=3573"},"modified":"2026-05-18T11:05:54","modified_gmt":"2026-05-18T09:05:54","slug":"pequeno-pero-maton-breve-introduccion-a-la-teoria-de-perturbaciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/12\/08\/pequeno-pero-maton-breve-introduccion-a-la-teoria-de-perturbaciones\/","title":{"rendered":"Peque\u00f1o pero mat\u00f3n: breve introducci\u00f3n a la teor\u00eda de perturbaciones"},"content":{"rendered":"\n

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

La descripci\u00f3n precisa de los fen\u00f3menos f\u00edsicos pasa necesariamente por una modelizaci\u00f3n matem\u00e1tica. Esta modelizaci\u00f3n, m\u00e1s o menos adecuada o compleja, se plasma en todo tipo de ecuaciones a las que el f\u00edsico debe enfrentarse para realizar su labor. En los estudios de F\u00edsica estamos acostumbrados a resolver los problemas de manera anal\u00edtica, esto es, encontrando una soluci\u00f3n expresada mediante combinaci\u00f3n de funciones conocidas y operaciones elementales. Sin embargo, la modelizaci\u00f3n de la naturaleza no siempre ocurre de esta forma y son innumerables los casos en los que las ecuaciones que representan los fen\u00f3menos f\u00edsicos son irresolubles anal\u00edticamente. Una posibilidad ante este caso es resolver las ecuaciones de forma num\u00e9rica. Otra, que es la que exploramos en esta entrada, es resolver las ecuaciones de forma aproximada bajo ciertas condiciones; por ejemplo, cuando existe un par\u00e1metro peque\u00f1o (mencionaremos qu\u00e9 significa peque\u00f1o m\u00e1s adelante) que modifica la estructura de una ecuaci\u00f3n soluble anal\u00edticamente. En este caso, la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n se podr\u00e1 escribir como la suma de la soluci\u00f3n anal\u00edtica de la ecuaci\u00f3n sin el peque\u00f1o par\u00e1metro m\u00e1s una contribuci\u00f3n que tiene en cuenta a \u00e9ste (la perturbaci\u00f3n). Este m\u00e9todo, que constituye la llamada teor\u00eda de perturbaciones, es tremendamente eficaz en arrojar soluciones aproximadas de problemas no tratables anal\u00edticamente, permitiendo el an\u00e1lisis del sistema f\u00edsico.<\/p>\n\n\n\n

Existen varias t\u00e9cnicas dentro de la teor\u00eda de perturbaciones pero, para empezar, vamos a tratar el protocolo m\u00e1s sencillo. Asumamos, como hemos mencionado previamente, que la soluci\u00f3n del problema puede descomponerse en dos partes: una soluci\u00f3n correspondiente al problema anal\u00edtico original, que sabemos resolver, y otra contribuci\u00f3n, de menor importancia que la primera, que modula y tiene en cuenta las contribuciones que convierten al problema en irresoluble anal\u00edticamente. Matem\u00e1ticamente, podr\u00edamos plasmar esta estrategia en un desarrollo en serie de potencias:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
x(t) = \\sum_{i=0}^{\\infty} \\varepsilon^{i} x_i (t) = x_0(t)+\\varepsilon x_1(t) + \\varepsilon^2 x_2(t) + \\cdots,
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

donde $x_0$ es la soluci\u00f3n del problema sin perturbar y todos los t\u00e9rminos con $\\varepsilon$ aquellos que consideran la perturbaci\u00f3n. El par\u00e1metro $\\varepsilon$ es el par\u00e1metro \u00abpeque\u00f1o\u00bb que permite realizar el c\u00e1lculo perturbativo o, mejor dicho, que asegura que la soluci\u00f3n aproximada por este m\u00e9todo sea lo m\u00e1s cercana posible a la soluci\u00f3n real. Este m\u00e9todo recibe el nombre de expansi\u00f3n directa o straightforward expansion.<\/p>\n\n\n\n

Para comprobar la utilidad de este m\u00e9todo perturbativo, apliqu\u00e9moslo a un problema bien conocido con una soluci\u00f3n exacta: el oscilador arm\u00f3nico amortiguado, representado por la siguiente ecuaci\u00f3n diferencial<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\frac{d^2 X(T)}{d T^2} + 2 \\xi \\omega_0 \\frac{d X(T)}{d T} + \\omega_0^2 X(T) = 0,
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

con $\\xi$ el coeficiente de amortiguamiento y $\\omega_0$ la frecuencia natural de oscilaci\u00f3n del sistema. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

La obsesi\u00f3n constante de los f\u00edsicos por el oscilador arm\u00f3nico perfectamente representada a trav\u00e9s de esta figura (de la cuenta @mientrasenfisicas de X).<\/p>\n\n\n\n

Podemos encontrar una escala de tiempo y longitud adecuadas de manera que la ecuaci\u00f3n anterior, en unidades f\u00edsicas, pueda expresarse de forma adimensional:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{equation}
\\frac{d^2 x(t)}{d t^2} + 2 \\xi \\frac{d x(t)}{d t} + x(t) = 0,\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\text{(1)}
\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

de manera que las variables en may\u00fascula representan variables dimensionales y las variables en min\u00fascula adimensionales. No es dif\u00edcil resolver esta ecuaci\u00f3n, lo que nos va a permitir ver c\u00f3mo de bueno es el m\u00e9todo perturbativo: imaginemos que $\\xi$ es una cantidad muy peque\u00f1a (gracias a escribir el sistema en su forma adimensional, peque\u00f1o implicar\u00e1 $\\xi = \\varepsilon \\ll 1$), por lo que podemos desarrollar la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n como una parte sin perturbar y otra parte perturbada, \u00fanicamente a primer orden en $\\varepsilon$, es decir, $x(t) = x_0(t) + \\varepsilon x_1(t)$. Si introducimos este desarrollo en la ecuaci\u00f3n anterior e igualamos por separado los t\u00e9rminos con las mismas potencias de $\\varepsilon$, tenemos:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{align}
\\mathrm{Orden}\\, 0: \\quad \\frac{d^2 x_0(t)}{dt^2} + x_0(t) &= 0.\\\\
\\mathrm{Orden}\\, \\varepsilon: \\quad \\frac{d^2 x_1(t)}{dt^2} + x_1(t) &= -2 \\frac{dx_0 (t)}{dt}.
\\end{align}<\/p>\n\n\n\n

En el orden 0 del desarrollo perturbativo, observamos la ecuaci\u00f3n del oscilador arm\u00f3nico, siendo $x_0(t) = A \\sin(t+\\phi) $, con $A$ y $\\phi$ constantes determinadas por las condiciones iniciales. Cuando pasamos al siguiente orden, encontramos la ecuaci\u00f3n de un oscilador arm\u00f3nico forzado:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\frac{d^2 x_1(t)}{dt^2} + x_1(t) &= -2 A \\cos(t+\\phi).
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

Y aqu\u00ed nos encontramos algo inesperado. La frecuencia de forzado es id\u00e9ntica a la frecuencia natural de oscilaci\u00f3n del oscilador, lo que conduce a un fen\u00f3meno bien conocido, la resonancia. Como este oscilador (no el sistema real, sino la ecuaci\u00f3n que representa la contribuci\u00f3n de primer orden) no tiene un t\u00e9rmino de amortiguamiento y, entonces, no disipa energ\u00eda, el forzado a la frecuencia de resonancia conducir\u00e1 irremediablemente a una divergencia, o \u00abblow-up\u00bb, de la soluci\u00f3n para tiempos suficientemente largos. Ese \u00absuficientemente largo\u00bb est\u00e1 \u00edntimamente ligado al valor de $\\varepsilon$. De hecho, esos t\u00e9rminos que producen la divergencia de la soluci\u00f3n son f\u00e1cilmente calculables proponiendo una soluci\u00f3n particular o mediante el m\u00e9todo de variaci\u00f3n de constantes; sin meternos en las cuentas, obtenemos que la soluci\u00f3n particular tiene una contribuci\u00f3n proporcional a $t \\cos(t+\\phi)$. Este t\u00e9rmino es el culpable de la divergencia de la serie perturbativa y recibe el nombre de t\u00e9rmino secular. De hecho, mostramos a continuaci\u00f3n el gr\u00e1fico de la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n (1) y de la soluci\u00f3n perturbativa hasta primer orden.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

En esta figura, la soluci\u00f3n exacta est\u00e1 representada en azul y la soluci\u00f3n obtenida mediante c\u00e1lculo perturbativo en naranja. Las condiciones iniciales son $x(0) =1$ y $x'(0)=0$ y el valor del par\u00e1metro $\\xi=\\varepsilon$ es $0.1$. Hasta $t \\approx 5$ la soluci\u00f3n perturbativa es bastante precisa, pero a partir de ese momento, \u00e9sta se aleja totalmente del comportamiento que el sistema exhibe. De hecho, poco despu\u00e9s de $t\\approx 10$, la soluci\u00f3n perturbativa comienza a crecer de manera descontrolada y empieza a divergir, a causa de los t\u00e9rminos seculares que ya hemos mencionado.<\/p>\n\n\n\n

Pero, entonces, \u00bfpara qu\u00e9 sirve esta expansi\u00f3n perturbativa si s\u00f3lo nos da una soluci\u00f3n aproximada v\u00e1lida para la primera parte de la trayectoria? En realidad esta expansi\u00f3n es bastante \u00fatil, solamente que no est\u00e1 especialmente adaptada para este sistema. \u00bfSe os ocurre qu\u00e9 puede estar pasando para que la aproximaci\u00f3n no sea v\u00e1lida a tiempos \u00ablargos\u00bb? Por otro lado, \u00bfqu\u00e9 cre\u00e9is que significa tiempos \u00ablargos\u00bb? En una pr\u00f3xima entrada trataremos de dar respuesta a la primera pregunta introduciendo otro m\u00e9todo perturbativo que introduce una modificaci\u00f3n bastante interesante de la straightforward expansion.<\/p>\n\n\n\n

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez es investigador del Departamento de F\u00edsica Aplicada II de la Universidad de M\u00e1laga.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez. La descripci\u00f3n precisa de los fen\u00f3menos f\u00edsicos pasa necesariamente por una modelizaci\u00f3n matem\u00e1tica. Esta modelizaci\u00f3n, m\u00e1s o menos adecuada o compleja, se plasma en todo tipo de ecuaciones a las que el f\u00edsico debe enfrentarse para Seguir leyendo →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3669,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[71],"tags":[67,63,103],"class_list":["post-3573","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog-uned-es","tag-matematicas","tag-mecanica","tag-sistemas-dinamicos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3573","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3573"}],"version-history":[{"count":37,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3573\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5011,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3573\/revisions\/5011"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3669"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3573"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3573"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3573"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}