{"id":2897,"date":"2025-06-22T21:21:26","date_gmt":"2025-06-22T19:21:26","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=2897"},"modified":"2026-05-18T11:10:02","modified_gmt":"2026-05-18T09:10:02","slug":"aterriza-como-puedas-ii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/06\/22\/aterriza-como-puedas-ii\/","title":{"rendered":"Aterriza como puedas II"},"content":{"rendered":"\n

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

En una entrada anterior<\/a> nos interesamos sobre los distintos reg\u00edmenes de ca\u00edda que exhib\u00edan los objetos cuando se les dejaba caer a merced de la gravedad. Para recordar, el sistema f\u00edsico era el siguiente: un objeto altamente sim\u00e9trico y con una dimensi\u00f3n mucho mayor que las otras dos dimensiones caracter\u00edsticas del objeto. Si hablamos de un paralelep\u00edpedo, por ejemplo, buscamos uno cuya longitud sea muy superior al espesor y anchura del cuerpo. Adem\u00e1s, dicho objeto se encontraba totalmente sumergido en un fluido cualquiera. Dej\u00e1bamos caer este objeto con una posici\u00f3n inicial dada y una velocidad inicial nula, tras lo cual observ\u00e1bamos la trayectoria que el cuerpo describ\u00eda para poder categorizarla en los cuatro reg\u00edmenes generales que encontramos: steady descent, fluttering, tumbling y chaos.<\/p>\n\n\n\n

Una vez hemos recordado el problema, podemos volver a la \u00faltima pregunta que plante\u00e1bamos en la primera parte de la entrada<\/a>. Nos gustar\u00eda saber, antes de que el objeto caiga, cu\u00e1l ser\u00e1 su r\u00e9gimen de ca\u00edda atendiendo \u00fanicamente a las caracter\u00edsticas f\u00edsicas del flujo y tambi\u00e9n geom\u00e9tricas del s\u00f3lido. Est\u00e1 claro que el fluido donde se encuentra el objeto tiene que ser importante; no es lo mismo dejar caer una hoja de papel en el aire que en el agua. Pero el cuerpo que consideremos tambi\u00e9n reviste importancia: hoja de papel y piedra no caen de la misma forma en el aire. Lo que no sabemos, a priori, es la importancia relativa de una caracter\u00edstica u otra. Ni tampoco si hay alguna variable m\u00e1s que no hayamos considerado previamente pero que pueda influenciar el r\u00e9gimen de ca\u00edda. Tratemos de responder primero a esta \u00faltima cuesti\u00f3n usando el an\u00e1lisis dimensional. Un objeto de densidad $\\rho_s$ y de longitudes caracter\u00edsticas $L$ (longitud), $w$ (anchura) y $t$ (espesor) cae sometido a la aceleraci\u00f3n de la gravedad $g$ en un fluido de densidad $\\rho_f$ y viscosidad cinem\u00e1tica $\\nu$. Pongamos tambi\u00e9n, para ser un poco m\u00e1s generales, que las dimensiones del objeto son desiguales y que se cumple la desigualdad $L \\gg w > t$. Como la dimensi\u00f3n $L$ del objeto es muy superior a las otras dos, podemos plantear el problema f\u00edsico prescindiendo de \u00e9sta y asumir un comportamiento bidimensional. Tenemos en total 6 variables f\u00edsicas ($\\rho_s$, $w$, $t$, $\\rho_f$, $\\nu$, $g$) y, si indagamos sobre las dimensiones de estas variables, veremos que estas dimensiones representan \u00fanicamente a 3 magnitudes f\u00edsicas: masa, longitud y tiempo. Podremos afirmar entonces que existen tres <\/strong>grupos de variables adimensionales que describen la ca\u00edda del objeto. Esta aseveraci\u00f3n es profunda y tiene una enorme importancia f\u00edsica. Podemos tratar de deducir sin hacer ni un solo experimento de qu\u00e9 grupos adimensionales podr\u00eda depender la ca\u00edda del cuerpo; tambi\u00e9n podemos equivocarnos y no elegir los par\u00e1metros m\u00e1s relevantes, pero una discusi\u00f3n completa sobre este tema (an\u00e1lisis dimensional y teorema de Buckingham $\\pi$) bien merece una entrada aparte. Volviendo al tema, los grupos adimensionales que podemos formar y que se utilizan tradicionalmente para describir este fen\u00f3meno son:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\mathrm{AR}= \\displaystyle\\frac{t}{w}, \\qquad I^{*} = \\displaystyle\\frac{I}{\\pi \\rho_f w^4\/32}, \\qquad \\mathrm{Re}= \\displaystyle\\frac{U w}{\\nu}.
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

Estos par\u00e1metros son la raz\u00f3n de aspecto entre la dos longitudes $\\mathrm{AR}$, el momento de inercia adimensional $I^{*}$ y el n\u00famero de Reynolds $\\mathrm{Re}$. La raz\u00f3n de aspecto \u00fanicamente toma en cuenta el cociente de las dos longitudes, siendo un par\u00e1metro generalmente peque\u00f1o en los experimentos $(\\mathrm{AR}< 0.1-0.2)$ y que suele considerarse de poca o nula influencia en la determinaci\u00f3n del r\u00e9gimen de ca\u00edda. Esta afirmaci\u00f3n, ampliamente aceptada, es, sin embargo, cuestionada y refutada parcialmente en algunos trabajos computacionales [1]. El momento de inercia adimensional se define como el momento de inercia del s\u00f3lido que cae normalizado por un momento de inercia de referencia. A saber, el momento de inercia por unidad de longitud con respecto al eje de simetr\u00eda de un cilindro de fluido de densidad $\\rho_f$ y di\u00e1metro $w$. Otros estudios toman como par\u00e1metro adimensional el cociente entre densidades de objeto y fluido, aunque se opta por el momento de inercia adimensional por razones hist\u00f3ricas [2, 3]. Por \u00faltimo, el n\u00famero de Reynolds, que toma para su definici\u00f3n una velocidad caracter\u00edstica $U$ de ca\u00edda, la cual suele tomarse en el experimento como la velocidad media de ca\u00edda del objeto. Esta decisi\u00f3n, sin embargo, entra\u00f1a un serio problema: el n\u00famero de Reynolds no es un par\u00e1metro a priori<\/em>, sino a posteriori<\/em>. Es decir, es necesario realizar el experimento para medir la velocidad con la que el objeto cae para formar el Reynolds, lo que complica tomar $\\mathrm{Re}$ como par\u00e1metro de control. No obstante, este par\u00e1metro se elige tradicionalmente porque permite la comparaci\u00f3n de los nuevos experimentos realizados en este campo con la ingente cantidad de datos experimentales que se llevan obteniendo desde el pasado siglo [2-4]. Sin embargo, otros autores han propuesto cambiar este par\u00e1metro por otro realmente de control que no necesite del experimento para cuantificarse. En concreto, se suele tomar el n\u00famero de Arqu\u00edmedes, $U_g w\/\\nu$, [1] (tambi\u00e9n llamado de Galileo, seg\u00fan la referencia) que toma como velocidad caracter\u00edstica la velocidad de ca\u00edda del objeto $U_g$ obtenida igualando las tres fuerzas predominantes que aparecen en la Figura 1. Estas fuerzas (tomadas por unidad de longitud $L$) son el peso, el empuje y el arrastre. Esta \u00faltima es proporcional al cuadrado de la velocidad porque el n\u00famero de Reynolds suele ser relativamente elevado, lejos, por tanto, de un flujo de Stokes. El balance de fuerzas $\\mathrm{Empuje} + \\mathrm{Arrastre} = \\mathrm{Peso}$ nos permite escribir la velocidad de ca\u00edda como:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\rho_f w t g +\\frac{1}{2}\\rho_f w U_g^2 = \\rho_s w t g \\Longrightarrow U_g= \\sqrt{2\\left( \\frac{\\rho_s}{\\rho_f} – 1 \\right) t g } .
\\nonumber
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Figura 1. Diagrama de fuerzas sobre un objeto que cae sumergido en un fluido experimentando una fuerza de arrastre [5].<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Por lo tanto, los par\u00e1metros que tomaremos determinantes en la elecci\u00f3n de los distintos reg\u00edmenes de ca\u00edda son el momento de inercia adimensional y el n\u00famero de Reynolds. Encontrar la dependencia de estos reg\u00edmenes de ca\u00edda con respecto a los par\u00e1metros adimensionales $I^{*}$ y $\\mathrm{Re}$ se ha llevado a cabo te\u00f3rica, num\u00e9rica y experimentalmente. Los acercamientos te\u00f3ricos se han basado principalmente en desarrollar modelos fenomenol\u00f3gicos utilizando la segunda ley de Newton. Num\u00e9ricamente, el procedimiento es computacionalmente costoso pero permite variar la geometr\u00eda del objeto y los par\u00e1metros f\u00edsicos del fluido de manera sencilla, as\u00ed como obtener resultados pr\u00f3ximos a la realidad. Existen sendas referencias donde este problema es enfrentado te\u00f3rica y num\u00e9ricamente. El tratamiento experimental resulta especialmente interesante porque es el marco que los trabajos te\u00f3ricos y computacionales tratan de racionalizar. Adem\u00e1s, ha sido ampliamente desarrollado debido a la relativa simplicidad de la configuraci\u00f3n experimental: un recipiente amplio relleno de fluido (aire, agua o glicerol son los empleados con m\u00e1s frecuencia), un dispositivo autom\u00e1tico de soltado del objeto, distintas geometr\u00edas que dejar caer y una c\u00e1mara para filmar la trayectoria. La representaci\u00f3n de estos datos se plasma en los llamados diagramas de fase, gr\u00e1ficos bidimensionales que muestran el r\u00e9gimen de ca\u00edda de los objetos en funci\u00f3n de sus valores de inercia adimensional y n\u00famero de Reynolds. En los gr\u00e1ficos, los distintos comportamientos est\u00e1n separados los unos de los otros mediante fronteras trazadas con l\u00edneas. En la Figura 2 se pueden observar dos diagramas de fase para dos tipos de objetos diferentes: la Figura 2 a) muestra los datos de Smith [2] para placas, mientras que la Figura 2 b) representa los datos de Field et al. [4] para discos delgados.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Figura 2. Diagrama de fases para a) placas [2] y b) discos [4].<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Ambos diagramas muestran los comportamientos que comentamos en la entrada anterior<\/a>. El movimiento de steady descent, stable motion range para las placas y steady falling para los discos, se encuentra a valores bajos de n\u00fameros de Reynolds $(\\mathrm{Re} \\lessapprox 100)$ y valores bajos a moderados de inercia. El movimiento de fluttering (rocking motion range \/ periodic) se extiende a elevados n\u00fameros de Reynolds y mantiene los valores de inercia para los que se encontraba steady descent. El comportamiento de tumbling (autorotation) se observa sistem\u00e1ticamente para moderados y elevados n\u00fameros de Reynolds e inercias elevadas. Es interesante notar que Smith no encuentra un comportamiento ca\u00f3tico en la ca\u00edda de sus placas, a diferencia de Field, que localiza esta regi\u00f3n entre el movimiento de fluttering y tumbling. Resulta sorprendente, adem\u00e1s, que para otros experimentos realizados con placas delgadas se encuentren movimientos ca\u00f3ticos [6], lo que podr\u00eda indicar que hay una fuerte dependencia del caos con las condiciones experimentales. Grosso modo<\/em>, los dos diagramas de fase, aunque traten de objetos geom\u00e9tricos distintos, son cualitativamente muy similares. <\/p>\n\n\n\n

Podr\u00edamos preguntarnos qu\u00e9 pasar\u00eda si trat\u00e1semos de incluir en el diagrama de fases la raz\u00f3n de aspecto, por ejemplo. O considerar objetos de geometr\u00edas m\u00e1s desafiantes. Incluso a\u00f1adir otras caracter\u00edsticas que objetos reales posean tales como porosidad o flexibilidad. Como veis, existen varias v\u00edas con las que continuar y obtener, posiblemente, resultados muy inspiradores. <\/p>\n\n\n\n

Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez es investigador del Departamento de F\u00edsica Aplicada II de la Universidad de M\u00e1laga.<\/p>\n\n\n\n

[1] Auguste, F., Magnaudet, J., & Fabre, D. (2013). Falling styles of disks. Journal of Fluid Mechanics<\/em>, 719<\/em>, 388-405.<\/p>\n\n\n\n

[2] Smith, E. H. (1971). Autorotating wings: an experimental investigation. Journal of Fluid Mechanics<\/em>, 50<\/em>(3), 513-534.<\/p>\n\n\n\n

[3] Willmarth, W. W., Hawk, N. E., & Harvey, R. L. (1964). Steady and unsteady motions and wakes of freely falling disks. Physics of Fluids<\/em>, 7<\/em>, 197\u2013208.<\/p>\n\n\n\n

[4] Field, S. B., Klaus, M., Moore, M. G., & Nori, F. (1997). Chaotic dynamics of falling disks. Nature<\/em>, 388<\/em>(6639), 252-254.<\/p>\n\n\n\n

[5] Singh, M., Puri, D., & Jakhar, N. (2023). Motion of a sphere in a viscous fluid under controlled acceleration. Physics Education<\/em>, 59<\/em>(1), 015012.<\/p>\n\n\n\n

[6] Andersen, A., Pesavento, U., & Wang, Z. J. (2005). Unsteady aerodynamics of fluttering and tumbling plates. Journal of Fluid Mechanics<\/em>, 541<\/em>, 65-90.<\/p>\n\n\n\n

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Autor: Jes\u00fas S\u00e1nchez Rodr\u00edguez. En una entrada anterior nos interesamos sobre los distintos reg\u00edmenes de ca\u00edda que exhib\u00edan los objetos cuando se les dejaba caer a merced de la gravedad. Para recordar, el sistema f\u00edsico era el siguiente: un objeto Seguir leyendo →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2767,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[71],"tags":[107,101],"class_list":["post-2897","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog-uned-es","tag-fisica-de-fluidos","tag-gravedad"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2897","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2897"}],"version-history":[{"count":35,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2897\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5019,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2897\/revisions\/5019"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2767"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2897"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2897"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2897"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}