{"id":1973,"date":"2025-02-10T10:00:56","date_gmt":"2025-02-10T09:00:56","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=1973"},"modified":"2025-02-11T09:59:17","modified_gmt":"2025-02-11T08:59:17","slug":"masa-no-hay-mas-que-una","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/02\/10\/masa-no-hay-mas-que-una\/","title":{"rendered":"Masa no hay m\u00e1s que una"},"content":{"rendered":"\n

Autor: Manuel Pancorbo Castro<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Introducci\u00f3n<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Cuando se introduce la Relatividad Especial en el Bachillerato, se explica que la velocidad de la luz es un l\u00edmite intraspasable, que ello conlleva unas transformaciones entre sistemas que son un poco m\u00e1s complicadas que las de Galileo y que eso afecta al concepto de simultaneidad. Se habla de la \u00abdilataci\u00f3n del tiempo\u00bb de los observadores en el sistema que se desplaza, y de la \u00abcontracci\u00f3n de las longitudes\u00bb medidas desde el sistema en reposo. Incluso a veces se dan f\u00f3rmulas; por ejemplo, la longitud que mide el observador en reposo de una vara que mide $L_\\circ$, y que se desplaza a velocidad $v$ en sentido longitudinal, es: \\begin{eqnarray}
L = L_\\circ \\sqrt{1-\\frac{v^2}{c^2}}.
%%\\tag{1}
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

Llegados a este punto, ahora se menciona que la masa que mide el observador en el sistema de laboratorio aumenta con la velocidad<\/strong> y se introducen los conceptos de \u00abmasa relativista\u00bb, $m_{rel}$ y \u00abmasa en reposo\u00bb, $m_\\circ$, de forma que:
\\begin{equation} m_{rel} = \\gamma \\,m_\\circ,\\ \\ \\ \\ \\ (1)\\end{equation} donde se introduce el factor de Lorentz, $\\gamma = 1\/\\sqrt{1-v^2\/c^2}$.<\/p>\n\n\n\n

Veamos ahora si esto est\u00e1 justificado.<\/p>\n\n\n\n

Momento lineal<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En Relatividad Especial, el momento de una part\u00edcula medido por el observador en el sistema de laboratorio tiene la expresi\u00f3n:
\\begin{equation}
p = \\gamma\\,m_\\circ v, \\ \\ \\ \\ \\ (2)
\\end{equation} que muy bien podr\u00eda reinterpretarse como: $p = (\\gamma\\,m_\\circ) v = m_{rel}\\, v$, a partir de la expresi\u00f3n (1) y que no es m\u00e1s que la f\u00f3rmula del momento lineal cl\u00e1sico, $p = m_\\circ v$, sin m\u00e1s que sustituir $m_\\circ$ por $m_{rel}$. Por tanto, parecer\u00eda apropiado introducir el concepto de masa relativista como reflejo de que, bajo la perspectiva de la visi\u00f3n cl\u00e1sica del momento lineal, que es proporcional a la velocidad, la inercia de la part\u00edcula va aumentando conforme nos acercamos al l\u00edmite $v \\rightarrow c$.<\/p>\n\n\n\n

Pero veamos qu\u00e9 ocurre con la energ\u00eda cin\u00e9tica.<\/p>\n\n\n\n

Energ\u00eda cin\u00e9tica<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La energ\u00eda cin\u00e9tica cl\u00e1sica tiene la expresi\u00f3n:
\\begin{equation}
E_k = \\frac{1}{2} m_\\circ v^2,\\ \\ \\ \\ \\ (3)
\\end{equation} y tendr\u00edamos que ver si la energ\u00eda cin\u00e9tica relativista se puede expresar sustituyendo la masa en reposo por la relativista en la expresi\u00f3n (3):
\\begin{equation}
E_k = \\frac{1}{2} m_{rel} v^2 = \\frac{1}{2} \\gamma\\, m_\\circ v^2 ,\\ \\ \\ \\ \\ (4)
\\end{equation} lo que dar\u00eda el espaldarazo definitivo al concepto de masa relativista.<\/p>\n\n\n\n

Energ\u00eda relativista<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La energ\u00eda de una part\u00edcula relativista surge a partir de la expresi\u00f3n:
\\begin{equation}
E^2 = m_\\circ^2 c^4 + p^2 c^2.\\ \\ \\ \\ \\ (5)
\\end{equation} Sustituyendo la ecuaci\u00f3n (2): \\begin{equation}
E^2 = m_\\circ^2 c^4 + \\frac{ m_\\circ^2 v^2 c^2}{1- v^2\/c^2}
= \\frac{m_\\circ^2 c^4}{1- v^2\/c^2},
\\end{equation} de donde: \\begin{equation}
E = \\frac{m_\\circ c^2}{\\sqrt{1- v^2\/c^2}}.
\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n

Antes de seguir observemos la caracter\u00edstica sorprendente de la Relatividad Especial de que, incluso en reposo, la part\u00edcula tiene una energ\u00eda $E = m_\\circ c^2$, que es lo que en la cultura popular se conoce como \u00abecuaci\u00f3n de Einstein\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

Obs\u00e9rvese que, en todo este an\u00e1lisis, subrepticiamente hemos escamoteado el concepto de \u00abenerg\u00eda cin\u00e9tica\u00bb y hemos hablado gen\u00e9ricamente de \u00abenerg\u00eda\u00bb. Por tanto, para hablar propiamente de energ\u00eda cin\u00e9tica tenemos que sustraer la energ\u00eda en reposo de la energ\u00eda total:
\\begin{equation}
E_k = E\\ -\\ m_\\circ c^2 = m_\\circ c^2 (\\gamma\\ -\\ 1), \\ \\ \\ \\ \\ (6)
\\end{equation} donde hemos recuperado la definici\u00f3n de $\\gamma$.<\/p>\n\n\n\n

A estas alturas parece claro que no podemos obtener la energ\u00eda cin\u00e9tica correcta, ecuaci\u00f3n (6), simplemente de la ecuaci\u00f3n (4).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Figura 1: Comparaci\u00f3n de energ\u00edas cin\u00e9ticas. En el Anexo, al final de la p\u00e1gina, se incluye el c\u00f3digo del lenguaje de programaci\u00f3n Julia utilizado para generar esta gr\u00e1fica.<\/p>\n\n\n\n

Por si acaso la comparaci\u00f3n entre ambas ecuaciones no fuera suficiente, y sospechamos que por alg\u00fan arcano truco algrebraico ambas podr\u00edan ser coincidentes, entonces no tenemos m\u00e1s que mirar en la Figura 1, donde representamos c\u00f3mo varian con la velocidad la energ\u00eda cin\u00e9tica verdadera, Ecuaci\u00f3n (6), y la presupuesta a partir de la masa relativista, Ecuaci\u00f3n (4); por completitud se a\u00f1ade tambi\u00e9n la energ\u00eda cin\u00e9tica cl\u00e1sica.<\/p>\n\n\n\n

Conclusi\u00f3n<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Definitivamente, el concepto de masa relativista no se sostiene y deber\u00eda ser descartado del relato que se hace de la Relatividad Especial en el Bachillerato y en el contexto de la divulgaci\u00f3n cient\u00edfica.<\/p>\n\n\n\n

Esto es m\u00e1s evidente porque la expresi\u00f3n (5) surge a partir de la contracci\u00f3n del cuadrivector energ\u00eda-momento<\/em>. En Relatividad, las magnitudes vectoriales se expresan como un vector de cuatro dimensiones —una de ellas ser\u00eda la componente en la dimensi\u00f3n temporal— y su contracci\u00f3n, que es una operaci\u00f3n parecida a la norma de un vector tradicional, da como resultado siempre un invariante<\/strong>, esto es, una magnitud escalar que es siempre la misma en cualquier sistema de referencia<\/strong>. En el caso del cuadrivector energ\u00eda-momento, su contracci\u00f3n no es m\u00e1s que la masa: \\begin{equation}
\\frac{E^2}{c^2}\\ -\\ p^2 = m_\\circ^2 c^2,
\\end{equation} expresi\u00f3n a partir de la cual obtenemos la ecuaci\u00f3n (5). Por tanto, la masa es \u00fanica y no cabe la distinci\u00f3n entre \u00abmasa en reposo\u00bb y \u00abmasa relativista\u00bb.<\/p>\n\n\n\n

Ep\u00edlogo<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Es posible que el t\u00edtulo de este art\u00edculo haya podido causar la impresi\u00f3n de que el tema del mismo es la hip\u00f3tesis de la igualdad de la masa inercial y la gravitatoria, que es uno de los postulados de la Relatividad General.<\/p>\n\n\n\n

No es el caso, obviamente. Al respecto solo puedo a\u00f1adir que, si bien no deja de ser una hip\u00f3tesis, no hay ning\u00fan experimento, hoy por hoy, que la haya cuestionado.<\/p>\n\n\n\n

Autor: Manuel Pancorbo Castro<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Manuel Pancorbo Castro es profesor del Departamento de F\u00edsica Interdisciplinar de la UNED.<\/p>\n\n\n\n

Anexo<\/strong>: C\u00f3digo del lenguaje de programaci\u00f3n Julia para generar la figura 1.<\/p>\n\n\n\n

## C\u00f3digo en lenguaje 'julia' para hacer la gr\u00e1fica\n## de las energ\u00edas\nusing Plots\nusing LaTeXStrings\nv = range(0, 0.9, length=100) # Velocidades\nE1 = 1 .\/sqrt.(1.0 .- v.^2) .- 1.0 # Energ\u00eda relativista\nE2 = 0.5 * v.^2 .\/ sqrt.(1.0 .- v.^2) # Energ\u00eda cl\u00e1sica con masa relativista\nE3 = 0.5 *v.^2 # Energ\u00eda cl\u00e1sica\nplot(v, E1,\nlabel=\"Energ\u00eda cin\u00e9tica relativista\"\n)\nplot!(v, E2,\nlabel=\"Energ\u00eda cin\u00e9tica cl\u00e1sica con masa relativista\"\n)\nplot!(v, E3,\nlabel=\"Energ\u00eda cin\u00e9tica cl\u00e1sica\"\n)\nxlabel!(L\"v\/c\")\nylabel!(L\"E_k\/m_\\circ c^2\")<\/code><\/pre>\n\n\n\n
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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