{"id":1871,"date":"2025-01-27T10:17:13","date_gmt":"2025-01-27T09:17:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=1871"},"modified":"2025-02-04T17:30:10","modified_gmt":"2025-02-04T16:30:10","slug":"raices-cuadradas-caso-resuelto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/01\/27\/raices-cuadradas-caso-resuelto\/","title":{"rendered":"Ra\u00edces cuadradas: caso resuelto"},"content":{"rendered":"\n<p>Autores: Ana Bel\u00e9n Ram\u00edrez de Arellano Rayo y <a href=\"https:\/\/www.uned.es\/universidad\/docentes\/ciencias\/adolfo-vazquez-quesada.html\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.uned.es\/universidad\/docentes\/ciencias\/adolfo-vazquez-quesada.html\">Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Tras todo el l\u00edo que tuvimos el otro d\u00eda con las ra\u00edces (ver <a href=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/01\/13\/a-vueltas-con-las-raices-cuadradas\/\">enlace<\/a>), hemos recibido una respuesta que nos ha satisfecho, pues permite desfacer el entuerto. La respuesta es de Ana Bel\u00e9n Ram\u00edrez de Arellano Rayo, estudiante del M\u00e1ster de F\u00edsica Avanzada de la UNED. La transcribimos aqu\u00ed debajo, y despu\u00e9s haremos algunas consideraciones extra que creo que ser\u00e1n interesantes.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" width=\"353\" height=\"272\" src=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/01\/raiz_resuelto.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1953\" style=\"width:251px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/01\/raiz_resuelto.png 353w, https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-content\/uploads\/sites\/569\/2025\/01\/raiz_resuelto-300x231.png 300w\" sizes=\"(max-width: 353px) 100vw, 353px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p style=\"font-size: 14px;text-align: center\">Al final no estaban tan locas estas ra\u00edces.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Respuesta de Ana Bel\u00e9n Ram\u00edrez de Arellano Rayo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<div style=\"margin-left: 4em\">\n    <p>Me gustar\u00eda aportar algunas reflexiones sobre las aparentes paradojas planteadas en el art\u00edculo, centr\u00e1ndome en la distinci\u00f3n fundamental entre dos conceptos:<\/p>\n    <ul>\n        <li><strong>La ecuaci\u00f3n<\/strong> $x^2 = 16$. En $\\mathbb{R}$, esta ecuaci\u00f3n admite exactamente dos soluciones: $x = 4$ y $x = -4$. El Teorema Fundamental del \u00c1lgebra, aplicado a un polinomio de segundo grado, confirma que no aparecen\nm\u00e1s de dos ra\u00edces (contando multiplicidades).<\/li>\n        <li><strong>La funci\u00f3n<\/strong> $\\sqrt{x}$. Al definir $\\sqrt{x}$ como la <em>rama principal}<\/em> de la ra\u00edz\ncuadrada,\ntrabajamos con una funci\u00f3n de $[0, \\infty)$ en $[0, \\infty)$.\nPor convenio, $\\sqrt{16} = 4$, y no $\\pm4$. As\u00ed, $x$ es univaluada y cada $x \\ge 0$ genera un\n\u00fanico valor no negativo.<\/li>\n    <\/ul>\nEl origen de la confusi\u00f3n radica en la notaci\u00f3n $x = \\pm \\sqrt{16}$, que usamos\npara expresar las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n\n$x^2 = 16$, pero que no debe\nidentificarse\ncon la definici\u00f3n de la funci\u00f3n $\\sqrt{x}$. Esto explica por qu\u00e9 al\ncalcular $3 \\sqrt{25} + 3 \\sqrt{25}$ solo obtenemos el resultado\n$30$. Los valores $0$ y $-30$\naparecen si aplicamos indebidamente el $\\pm a \\sqrt{25}$, aunque en la rama principal $\\sqrt{25} = 5$.\n<\/div>\n<p><\/p>\n\n\n\n<p style=\"margin-left: 4em\">  En cuanto a si $f(x) = \\sqrt{x}$ es realmente una\nfunci\u00f3n, la respuesta es <strong>s\u00ed<\/strong>,\nporque para cada $x \\ge 0$ ofrece un \u00fanico valor, $x \\ge 0$. El malentendido\nsurge al mezclar esta definici\u00f3n univaluada con la necesidad de contemplar\nlas dos ra\u00edces en el contexto de ecuaciones cuadr\u00e1ticas.<\/p>\n\n\n\n<p style=\"margin-left: 4em\"> As\u00ed, como subraya Rudin [1], si hablamos de funciones, cada $x$ tiene\nun \u00fanico valor, mientras que al resolver ecuaciones consideramos\nlas ra\u00edces positiva y negativa. <\/p>\n\n\n\n<p style=\"margin-left: 4em\"> P.D.: En [1]\nse parte de una definici\u00f3n rigurosa de los n\u00fameros reales y se demuestra que\npara cada $x &gt; 0$ existe un \u00fanico n\u00famero positivo $y$ tal que $y^2 = x$. As\u00ed, $\\sqrt{x}$\nqueda bien definida y es continua. Esto difiere\nde las dos ra\u00edces que aparecen\nal resolver la ecuaci\u00f3n $x^2 = a$, porque en $\\sqrt{x}$ siempre se escoge la ra\u00edz no\nnegativa. <\/p>\n\n\n\n<p>De esta manera, Ana Bel\u00e9n nos resuelve todos los problemas planteados en la entrada anterior. Efectivamente, como ella misma subraya, hay una polisemia del t\u00e9rmino <em>ra\u00edz<\/em>, que hace referencia, al mismo tiempo, a la operaci\u00f3n aritm\u00e9tica y a una de las soluciones de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica. Si bien, aunque seguramente esta sea una de las causas que puede generar confusiones similares a las mostradas en la anterior entrada, no creo que sea la \u00fanica. De hecho, existe otro problema de polisemia que se tiene con la ra\u00edz, pues la mayor\u00eda de la gente considera que las expresiones $\\sqrt{x^2}=x$ y $\\sqrt{25}=\\pm 5$ son v\u00e1lidas al mismo tiempo, es decir, que la ra\u00edz se aplica de manera diferente si es a un n\u00famero o a una expresi\u00f3n algebraica. Pero que ambas expresiones sean v\u00e1lidas lleva a conclusiones absurdas, pues si esto fuera as\u00ed, se cumplir\u00eda que<br>\\begin{eqnarray}<br> 5= \\sqrt{5^2} = \\sqrt{25}=\\sqrt{(-5)^2} = -5<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n<p>Antes de que te excluyas del grupo de los que creen que ambas expresiones $\\sqrt{x^2}=x$ y $\\sqrt{25}=\\pm 5$ son v\u00e1lidas, te reto a comprobarlo. Consideremos, por ejemplo, c\u00f3mo se resuelve la ecuaci\u00f3n $x^2=25$<br>\\begin{eqnarray}<br>x^2 = 25 \\rightarrow \\sqrt{x^2} = \\sqrt{25}<br>\\rightarrow x=\\pm 5.<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<br>Aunque ninguno de los pasos anteriores es err\u00f3neo, por simple comparaci\u00f3n del segundo y tercer paso, la mayor\u00eda de nosotros se habr\u00e1 dado cuenta de que es verdad que considera que $\\sqrt{x^2}=x$ y $\\sqrt{25}=\\pm 5$ son ambas v\u00e1lidas, es decir, que la ra\u00edz tiene un significado diferente si se aplica a $25$ o a $x^2$.<\/p>\n\n\n\n<p>Esta ambig\u00fcedad est\u00e1 bien documentada e hist\u00f3ricamente ha sido origen de conflictos conceptuales incluso entre figuras importantes de las matem\u00e1ticas (ver, por ejemplo,  los casos de Euler, Peacock y Lacroix en [2]). Hoy en d\u00eda, los conflictos son m\u00e1s bien de \u00edndole did\u00e1ctica, debido a que la ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas se ve muchas veces m\u00e1s afectada por las inercias tradicionales que por las definiciones formales que utiliza la matem\u00e1tica actual.<\/p>\n\n\n\n<p>Bueno, a lo que nos interesa: \u00bfc\u00f3mo se resuelve este conflicto en las matem\u00e1ticas actuales? Utilizando la siguiente definici\u00f3n<br>\\begin{eqnarray}<br>\\sqrt{x^2}=|x|<br>\\end{eqnarray}<br>Pero entonces, \u00bfes correcta la siguiente expresi\u00f3n?<br>\\begin{eqnarray}<br>\\sqrt{x^2}=\\pm x<br>\\end{eqnarray}<br>Pues s\u00ed que lo es. Pero esperad un poco antes de desear que un rayo me parta por la mitad por hacer que os explote la cabeza diciendo una cosa y la contraria al mismo tiempo. La ecuaci\u00f3n es correcta si se considera que solo uno de los signos puede ser v\u00e1lido: el positivo ser\u00e1 el signo v\u00e1lido si $x&gt;0$ y el negativo lo ser\u00e1 si $x&lt;0$.<\/p>\n\n\n\n<p>Entiendo que despu\u00e9s de todo este l\u00edo, necesitamos un hito, algo a lo que agarrarnos, que nos d\u00e9 un poco de seguridad sobre el concepto de la ra\u00edz cuadrada. Creo que un buen asidero es darse cuenta de que, con la definici\u00f3n de ra\u00edz dada arriba, el s\u00edmbolo $\\pm$ que aparece cuando operamos con ra\u00edces es el mismo s\u00edmbolo $\\pm$ que aparece cuando operamos con valores absolutos. Esto se ve ahora claramente si volvemos a resolver la ecuaci\u00f3n $x^2=25$ de una manera m\u00e1s did\u00e1ctica (en mi opini\u00f3n, como se deber\u00eda ense\u00f1ar)<br>\\begin{eqnarray}<br>x^2 = 25 \\rightarrow \\sqrt{x^2} = \\sqrt{25}<br>\\rightarrow |x| = 5 \\rightarrow x=\\pm 5.<br>\\nonumber<br>\\end{eqnarray}<br>Es solo un paso m\u00e1s, pero en la adquisici\u00f3n de conceptos puede marcar una gran diferencia, pues vemos con claridad de d\u00f3nde viene el s\u00edmbolo $\\pm$, y nos muestra que ninguna de las dos expresiones $\\sqrt{x^2}=x$ y $\\sqrt{25}=\\pm 5$ es correcta.<\/p>\n\n\n\n<p>Para m\u00e1s detalles, ya sean hist\u00f3ricos, matem\u00e1ticos o did\u00e1cticos, os animo a consultar la referencia [2].<\/p>\n\n\n\n<p>Autores: Ana Bel\u00e9n Ram\u00edrez de Arellano Rayo y <a href=\"https:\/\/www.uned.es\/universidad\/docentes\/ciencias\/adolfo-vazquez-quesada.html\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/www.uned.es\/universidad\/docentes\/ciencias\/adolfo-vazquez-quesada.html\">Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Ana Bel\u00e9n Ram\u00edrez de Arellano Rayo es estudiante del Master de F\u00edsica Avanzada de la UNED.<\/p>\n\n\n\n<p>Adolfo V\u00e1zquez Quesada es profesor del Departamento de F\u00edsica Fundamental de la UNED.<\/p>\n\n\n\n<p>Referencias:<\/p>\n\n\n\n<p>[1] Rudin, W. (1964).&nbsp;<em>Principles of mathematical analysis<\/em>&nbsp;(Vol. 3). New York: McGraw-hill.<\/p>\n\n\n\n<p>[2] G\u00f3mez, B. (2014). Ambig\u00fcedad y polisemia del signo radical: un problema matem\u00e1tico y did\u00e1ctico.&nbsp;<em>La Gaceta de la RSME<\/em>,&nbsp;<em>17<\/em>(1), 139-153.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Autores: Ana Bel\u00e9n Ram\u00edrez de Arellano Rayo y Adolfo V\u00e1zquez Quesada. Tras todo el l\u00edo que tuvimos el otro d\u00eda con las ra\u00edces (ver enlace), hemos recibido una respuesta que nos ha satisfecho, pues permite desfacer el entuerto. La respuesta <a class=\"more-link\" href=\"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2025\/01\/27\/raices-cuadradas-caso-resuelto\/\">Seguir leyendo &rarr;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1953,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[71],"tags":[81,61,67],"class_list":["post-1871","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog-uned-es","tag-didactica","tag-historia","tag-matematicas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1871","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1871"}],"version-history":[{"count":54,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1871\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2117,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1871\/revisions\/2117"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1953"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1871"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1871"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1871"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}