{"id":1703,"date":"2024-12-23T11:11:37","date_gmt":"2024-12-23T10:11:37","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=1703"},"modified":"2025-01-27T11:29:21","modified_gmt":"2025-01-27T10:29:21","slug":"regreso-a-la-isla-de-los-camaleones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2024\/12\/23\/regreso-a-la-isla-de-los-camaleones\/","title":{"rendered":"Regreso a la isla de los camaleones"},"content":{"rendered":"\n

Autores: \u00c1lex Jurado i L\u00f3pez, Pedro Garc\u00eda Segador y Javier Rodr\u00edguez Laguna<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

La redacci\u00f3n de Hablando de F\u00edsica @UNED<\/em> est\u00e1 desbordada de respuestas muy inteligentes al acertijo de los camaleones<\/a>. Vamos a resumir brevemente las mejores, y luego haremos unos pocos comentarios.<\/p>\n\n\n\n

Os recuerdo cu\u00e1l era el problema. En una isla tenemos 13 camaleones rojos, 15 azules y 17 verdes. Cuando dos camaleones de distintos colores se encuentran, ambos se vuelven del tercer color (del que no es ninguno de los dos). Suponiendo que no nace ni muere ninguno m\u00e1s, \u00bfes posible que todos los camaleones lleguen a ser del mismo color?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Avisamos entonces… SPOILER ALERT!!<\/strong> Si quer\u00e9is pensar en el problema cerrad ahora mismo esta p\u00e1gina.<\/em><\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

\u00bfEst\u00e1is seguros\/as entonces? \u00bfQuer\u00e9is seguir leyendo? Vale, vale, ya no pregunto m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n

En efecto, es imposible que todos los camaleones se vuelvan del mismo color.<\/em> Ahora, discutamos por qu\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

\u00c1lex Jurado i L\u00f3pez<\/strong>, estudiante de 4\u00ba del Grado en F\u00edsica, nos envi\u00f3 una soluci\u00f3n anal\u00edtica perfecta basada en \u00e1lgebra lineal. Tenemos un vector inicial de \u00abpoblaciones\u00bb, <\/p>\n\n\n\n

$${\\mathbf P}=(R,A,V)=(13,15,17).$$<\/p>\n\n\n\n

Los encuentros entre camaleones act\u00faan sumando tres posibles vectores:<\/p>\n\n\n\n

$${\\mathbf a}_1=(2,-1,-1),\\quad {\\mathbf a}_1=(-1,2,-1), \\quad {\\mathbf a}_3=(-1,-1,2).$$<\/p>\n\n\n\n

Es decir: si se encuentran un camale\u00f3n azul y uno verde, el n\u00famero de azules y verdes disminuye en uno, y el n\u00famero de rojos aumenta en dos, as\u00ed que al vector de poblaciones se le suma el vector ${\\mathbf a}_1$. \u00bfHasta aqu\u00ed todos de acuerdo? Si se producen $n_1$ encuentros del tipo ${\\mathbf a}_1$, $n_2$ del tipo ${\\mathbf a}_2$ y $n_3$ del tipo ${\\mathbf a}_3$, la poblaci\u00f3n final ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n

$${\\mathbf P} + n_1 {\\mathbf a}_1 + n_2 {\\mathbf a}_2 + n_3 {\\mathbf a}_3,$$<\/p>\n\n\n\n

Si todos los camaleones terminan por ser del mismo color, las poblaciones finales ser\u00e1n $(45,0,0)$, $(0,45,0)$ o $(0,0,45)$. As\u00ed que el \u00faltimo paso de \u00c1lex es encontrar los valores de $n_1$, $n_2$ y $n_3$ que nos llevan a cada uno de los estados finales. Es decir, resuelve un sistema de ecuaciones lineales en los que $n_1$, $n_2$ y $n_3$ son las inc\u00f3gnitas, demostrando as\u00ed que en ninguno de los tres casos las soluciones son enteras. As\u00ed, por ejemplo, si queremos que todos los camaleones sean rojos resolvemos la ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

$${\\mathbf P} + n_1 {\\mathbf a}_1 + n_2 {\\mathbf a}_2 + n_3 {\\mathbf a}_3 = (45,0,0),$$<\/p>\n\n\n\n

que tiene como soluciones $n_1-n_3=49\/3$ y $n_2-n_3=2\/3$… as\u00ed que no existen soluciones enteras. Repitiendo el c\u00e1lculo para los otros dos finales posibles encontramos la misma respuesta. <\/p>\n\n\n\n

Pedro Garc\u00eda Segador<\/strong>, estudiante de 3er curso del Grado, aporta un matiz interesante. Llamemos R al n\u00famero de camaleones rojos, A al de azules y V al de verdes. Pedro parte del mismo esquema general de \u00c1lex, pero despu\u00e9s opera sobre las ecuaciones y llega a la conclusi\u00f3n de que, para que exista soluci\u00f3n al acertijo, tiene que pasar que <\/p>\n\n\n\n

$$R-A=3(n_2-n_1), \\qquad R-V=3(n_3-n_1).$$<\/p>\n\n\n\n

Es decir, como $n_1$, $n_2$ y $n_3$ tienen que ser enteros, las diferencias entre las poblaciones de camaleones tienen que ser m\u00faltiplos de tres. Dado que eso no ocurre en el primer momento, no hay soluci\u00f3n al problema.<\/p>\n\n\n

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\"\"
Tres camaleones entran en un bar…<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Otro\/a lector\/a, que prefiere permanecer en el anonimato, hizo una observaci\u00f3n muy interesante. Tomamos el vector de poblaciones inicial, (13,15,17), y obtenemos el resto de dividir por tres, que ser\u00eda (1,0,2). Ahora consideremos cualquier posible encuentro entre camaleones. Por ejemplo, podemos pasar de (13,15,17) a (12,14,19), si un camale\u00f3n rojo y uno azul se convierten en dos verdes. Tomemos otra vez restos y nos queda (0,2,1). Y si se encuentra ahora uno azul y uno verde para dar dos rojos tendremos (14,13,18), que al tomar restos ser\u00e1 (2,1,0). Es decir: todas las transformaciones preservan la estructura de los restos, dando una permutaci\u00f3n del vector (0,1,2). Por lo tanto, jam\u00e1s llegaremos a un solo color, que implica que el vector de restos de poblaciones al dividir por 3 sea (0,0,0).<\/p>\n\n\n\n

\u00bfPodemos demostrar rigurosamente la conjetura anterior? S\u00ed, pero exige introducir una herramienta matem\u00e1tica que quiz\u00e1 muchos de vosotros no conoc\u00e9is, que se conoce como aritm\u00e9tica modular. B\u00e1sicamente, definimos la igualdad de n\u00fameros enteros \u00abm\u00f3dulo 3\u00bb. Por ejemplo, podemos escribir<\/p>\n\n\n\n

22=1 mod 3<\/p>\n\n\n\n

Que quiere decir que 22 y 1 son equivalentes \u00abm\u00f3dulo 3\u00bb, es decir, dan el mismo resto al dividir por 3. Ahora nos damos cuenta de que la operaci\u00f3n \u00absumar 2\u00bb y la operaci\u00f3n \u00abrestar 1\u00bb son equivalentes m\u00f3dulo 3. Veamos un ejemplo,<\/p>\n\n\n\n

22-1 = 0 mod 3,<\/p>\n\n\n\n

22+2 = 0 mod 3.<\/p>\n\n\n\n

Ahora podemos proporcionar un esbozo de lo que ser\u00eda una demostraci\u00f3n rigurosa. Cuando tenemos cualquier encuentro entre camaleones, las tres poblaciones cambian. A una de ellas se le suma 2, a las otras dos se les resta uno. Pero, m\u00f3dulo 3, la operaci\u00f3n realizada sobre las tres es la misma<\/em>. As\u00ed que si partimos de valores diferentes siempre llegaremos a valores diferentes. De alguna manera, tenemos una \u00abcantidad conservada\u00bb, como la energ\u00eda o el momento, que es una de nuestras cosas favoritas en f\u00edsica, s\u00f3lo que en este caso es… \u00a1m\u00f3dulo 3!<\/p>\n\n\n\n

Esperamos que el acertijo os haya resultado interesante. No dud\u00e9is en escribirnos si ten\u00e9is alguna duda m\u00e1s, o si quer\u00e9is sugerirnos alg\u00fan otro acertijo de dificultad similar para el blog.<\/p>\n\n\n\n

Autores: \u00c1lex Jurado i L\u00f3pez, Pedro Garc\u00eda Segador y Javier Rodr\u00edguez Laguna<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

\u00c1lex Jurado i L\u00f3pez y Pedro Garc\u00eda Segador son estudiantes del Grado en F\u00edsica de la UNED. Javier Rodr\u00edguez Laguna es profesor del Departamento de F\u00edsica Fundamental de la UNED.<\/p>\n\n\n\n

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