{"id":1493,"date":"2024-12-16T10:48:26","date_gmt":"2024-12-16T09:48:26","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=1493"},"modified":"2026-02-26T11:17:09","modified_gmt":"2026-02-26T10:17:09","slug":"documental-numerico-la-implacable-ameba-buscadora-de-minimos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2024\/12\/16\/documental-numerico-la-implacable-ameba-buscadora-de-minimos\/","title":{"rendered":"Documental num\u00e9rico: la implacable ameba buscadora de m\u00ednimos"},"content":{"rendered":"\n

Autor: Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

En el rico ecosistema num\u00e9rico, una de las presas m\u00e1s preciadas son los m\u00ednimos. Los beneficios de la depredaci\u00f3n de m\u00ednimos son grandes, pues permiten encontrar estados de equilibrio estables, o ajustar datos a funciones mediante el m\u00e9todo de m\u00ednimos cuadrados, entre otros muchos provechos que pueden sacar de ello sus depredadores. Para cazar a estas fascinantes criaturas, estrategias como agazaparse en la oscuridad y esperar a que aparezcan para emboscarlas no dar\u00e1n frutos, pues los m\u00ednimos permanecen quietos, siempre en el mismo lugar, fascinados por la disposici\u00f3n de los gradientes que ven a su alrededor divergiendo del punto en el que se encuentran: el m\u00ednimo de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Una de las estrategias m\u00e1s productivas que usan los depredadores de m\u00ednimos, es la de ir descendiendo por los gradientes, lo que en ingl\u00e9s se llama gradient descent<\/em>, hasta conseguir atraparlos. Recordemos que los gradientes indican la direcci\u00f3n en la que la funci\u00f3n crece m\u00e1s r\u00e1pido, por lo que recorrerlos en sentido contrario ayuda a encontrar a los m\u00ednimos. No obstante, muchos m\u00ednimos se esconden entre gradientes tan grandes que es dif\u00edcil seguirlos hasta el lugar en el que est\u00e1 el m\u00ednimo sin pasarse. Otros m\u00ednimos se colocan en lugares en los que obtener el valor de la funci\u00f3n en un punto es ya muy dif\u00edcil, como cuando los datos de esta vienen de simulaciones o de experimentos, lo que hace que calcular el gradiente sea a\u00fan m\u00e1s complicado. A veces tambi\u00e9n se esconden en espacios de tantas dimensiones que resulta complicado saber hacia d\u00f3nde se dirige el gradiente. Pero existe un fascinante depredador que puede tener \u00e9xito en donde otros fallan y que es el protagonista de nuestro documental: la ameba.<\/p>\n\n\n

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Los m\u00ednimos son muy esquivos, por lo que no hemos encontrado imagen clara de ning\u00fan individuo de cerca. A cambio os ponemos la foto de un minino, con los que no deben ser confundidos.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

La ameba a la que nos referimos es un poco diferente de la que encontramos en el mundo natural. Los matem\u00e1ticos la denominan s\u00edmplex, y puede medrar en espacios con cualquier n\u00famero de dimensiones. Su forma es la de un politopo (un poliedro de caras planas) y tiene un v\u00e9rtice m\u00e1s que dimensiones tenga el espacio en el que vive. Por ejemplo, si vive en un espacio de dos dimensiones, tiene tres v\u00e9rtices y forma de tri\u00e1ngulo. Si vive, en un espacio tridimensional, tiene cuatro v\u00e9rtices y forma de tetraedro, y as\u00ed sucesivamente. En general, si la ameba vive en un espacio de $N$ dimensiones, tiene $N+1$ v\u00e9rtices.<\/p>\n\n\n\n

Esta ameba es implacable cuando caza a un m\u00ednimo y basa su t\u00e1ctica en ir reptando por el espacio acerc\u00e1ndose a \u00e9l paso a paso. El \u00e9xito de la caza depender\u00e1 de lo bien que se mueva la ameba. Estos depredadores son despiadados y siempre hacen sus movimientos de la misma manera, acerc\u00e1ndose cada vez m\u00e1s al indefenso m\u00ednimo. Las amebas son muy sistem\u00e1ticas y siguen una serie de pasos por orden de manera estricta. Acampa\u00f1adnos en este ejemplo t\u00edpico de caza de uno de estos deprededadores:<\/p>\n\n\n\n

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  1. El arma principal de la ameba est\u00e1 en su capacidad de evaluar<\/strong> con precisi\u00f3n la funci\u00f3n $f$ en varios puntos clave. Sus finos sentidos le permiten calcular, por ejemplo, la funci\u00f3n en sus v\u00e9rtices. De hecho, en cada paso de su caza, es lo primero que hace, para luego ordenarlos<\/strong>. En la mente de la ameba, su v\u00e9rtice $1$ es el v\u00e9rtice que mejor valor tiene, es decir, con un valor de $f$ m\u00e1s bajo, mientras que el peor v\u00e9rtice es el $N+1$. De esta manera, se cumplir\u00e1 que $f(\\vec{\\boldsymbol{r}}_1)\\le f(\\vec{\\boldsymbol{r}}_2)\\le\\ldots \\le f(\\vec{\\boldsymbol{r}}_{N+1})$. La ameba sabe que su v\u00e9rtice $\\vec{\\boldsymbol{r}}_1$ est\u00e1 en una buena posici\u00f3n, pero no est\u00e1 tan contenta con la posici\u00f3n que tiene su v\u00e9rtice $\\vec{\\boldsymbol{r}}_{N+1}$, por lo que querr\u00e1 cambiar la posici\u00f3n de este v\u00e9rtice lo antes posible.<\/li>\n\n\n\n
  2. En un segundo paso, la ameba prepara su asalto, antes de moverse, evaluando<\/strong> la funci\u00f3n en el centroide $\\vec{\\boldsymbol{r}}_0$ de todos los v\u00e9rtices salvo el $N+1$. La ameba quiere que, de alguna forma, el v\u00e9rtice en $\\vec{\\boldsymbol{r}}_{N+1}$ se acerque a los dem\u00e1s, y por lo tanto, a $\\vec{\\boldsymbol{r}}_0$.<\/li>\n\n\n\n
  3. La ameba quiere quitar su v\u00e9rtice de la posici\u00f3n $\\vec{\\boldsymbol{r}}_{N+1}$ y piensa que deber\u00eda moverlo m\u00e1s hacia el resto de v\u00e9rtices, que tienen mejores posiciones. Se plantea entonces hacer una reflexi\u00f3n<\/strong> de dicho v\u00e9rtice respecto a $\\vec{\\boldsymbol{r}}_0$. Para ello, tantea la posici\u00f3n $\\vec{\\boldsymbol{r}}_r = \\vec{\\boldsymbol{r}}_0 + \\alpha\\left(\\vec{\\boldsymbol{r}}_0-\\vec{\\boldsymbol{r}}_{N+1}\\right)$. El valor $\\alpha=1$ ha sido observado en muchas amebas, de manera que la reflexi\u00f3n sea sim\u00e9trica respecto de $\\vec{\\boldsymbol{r}}_0$. Si nuestra protagonista ve que $f(\\vec{\\boldsymbol{r}}_0)$ es mejor que el segundo peor v\u00e9rtice, el $N$, pero peor que el v\u00e9rtice $1$, entonces la ameba directamente coloca su v\u00e9rtice ah\u00ed, sustituyendo la posici\u00f3n $\\vec{\\boldsymbol{r}}_{N+1}$ por la $\\vec{\\boldsymbol{r}}_0$. Si la ameba hace esto, empezar\u00e1 un nuevo movimiento volviendo al paso 1. Sin embargo, si la condici\u00f3n anterior no se cumpliera, entonces la ameba no har\u00eda nada todav\u00eda y pasar\u00eda al paso 4.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n
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    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    En esta imagen observamos a una ameba en plena caza. La ameba, que medra en el espacio $(x,y)$, es decir $N=2$, ha hecho una reflexi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

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    1. Aqu\u00ed se pueden dar dos posibilidades:<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n