{"id":1135,"date":"2024-12-04T11:59:47","date_gmt":"2024-12-04T10:59:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/?p=1135"},"modified":"2026-05-17T20:16:47","modified_gmt":"2026-05-17T18:16:47","slug":"la-cinematica-entretenida-dos-ecuaciones-para-gobernarlos-a-todos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/2024\/12\/04\/la-cinematica-entretenida-dos-ecuaciones-para-gobernarlos-a-todos\/","title":{"rendered":"La cinem\u00e1tica entretenida: dos ecuaciones para gobernarlos a todos"},"content":{"rendered":"\n

Autor: Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n

La cinem\u00e1tica es la rama de la f\u00edsica que se dedica a estudiar el movimiento de los objetos. Normalmente es el primer cap\u00edtulo en pr\u00e1cticamente todos los cursos de f\u00edsica general, pues lo interesante de los procesos f\u00edsicos es casi siempre el estudio de algo cuyo movimiento cambia, ya sea por fuerzas gravitatorias, electromagn\u00e9ticas o de otro tipo. El tema de la cinem\u00e1tica suele ser siempre bastante anodino: no creo que haya mucha gente que se meta a estudiar f\u00edsica con un inter\u00e9s profundo en la cinem\u00e1tica. Digamos que es un tema necesario para poder dedicarse a otras tareas m\u00e1s satisfactorias en las que la cinem\u00e1tica es necesaria porque las cosas se mueven. Esto nos lleva a una aparente contradicci\u00f3n: la cinem\u00e1tica es aburrida, pero las cosas son m\u00e1s interesantes si su movimiento cambia. Entonces, \u00bfc\u00f3mo puede ser aburrida la cinem\u00e1tica si con ella estudiamos cosas interesantes?<\/p>\n\n\n

Quiz\u00e1s el problema de la ‘cinem\u00e1tica aburrida’ se encuentre en el enfoque que se le suele dar: es una materia que se introduce en cursos preuniversitarios y que casi siempre se ense\u00f1a con un enfoque m\u00e1s parecido al de un zo\u00f3logo del siglo XIX que al de un f\u00edsico. Entre las criaturas de nuestro ‘zool\u00f3gico cinem\u00e1tico’ destacan las siguientes:
– Movimiento rectil\u00edneo uniforme (MRU)
– Movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado (MRUA)
– Movimiento circular uniforme (MCU)
– Movimiento circular uniforme (MCUA)
cada una con sus particularidades que la definen, y en cada caso con unas siglas que les otorgan un car\u00e1cter m\u00e1s elevado y que podr\u00edan ser equivalentes a los nombres cient\u00edficos latinos de las especies que tan bien hac\u00edan quedar a los bi\u00f3logos decimon\u00f3nicos. No obstante, es f\u00e1cil que este enfoque nos lleve a creer que toda la ‘fauna cinem\u00e1tica’ se puede representar por estas cuatro especies, y puede que alguna m\u00e1s, cuando en realidad, tiene muchas m\u00e1s que cuatro: infinitas, de hecho. S\u00f3lo hace falta que nos fijemos bien en nuestro propio movimiento desde la panader\u00eda hasta casa para darnos cuenta de ello. Pero la p\u00e1tina t\u00e9cnico-cient\u00edfica de semejantes siglas puede hacer dudar a cualquiera de lo que sus propios sentidos observan.<\/p>\n\n\n\n

Un enfoque que, al menos desde mi punto de vista, parece mucho m\u00e1s interesante, es el de invocar a las dos ecuaciones que gobiernan a todas estas ‘especies cinem\u00e1ticas’, algo que dif\u00edcilmente podr\u00e1n hacer los bi\u00f3logos con las especies de verdad, pero que resulta bastante sencillo para un f\u00edsico. Las dos ecuaciones son las definiciones de velocidad y aceleraci\u00f3n instant\u00e1neas, $\\vec{\\boldsymbol{v}}$ y $\\vec{\\boldsymbol{a}}$ respectivamente, dadas por \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{v}} &=& \\frac{d\\vec{\\boldsymbol{r}}}{dt}, \\ \\ \\ \\ \\ (1)\\\\
\\vec{\\boldsymbol{a}} &=& \\frac{d\\vec{\\boldsymbol{v}}}{dt}, \\ \\ \\ \\ \\ (2)
\\end{eqnarray} siendo $\\vec{\\boldsymbol{r}}$ la posici\u00f3n del m\u00f3vil y $t$ el tiempo. Todos los movimientos que podamos imaginar se regir\u00e1n por estas ecuaciones, pues son definiciones, incluidos los cuatro individuos estrella de los primeros temas de los cursos de f\u00edsica general, indicados arriba. Como vemos, estas definiciones utilizan derivadas, y para poder aplicarlas apropiadamente a cualquier movimiento tambi\u00e9n habr\u00e1 que hacer integrales, por lo que es un enfoque que, en principio, s\u00f3lo se podr\u00e1 tomar cuando ya dominemos el uso de la derivada y la integral. Pero que eso no asuste a nadie: es un dominio a muy bajo nivel el que se requiere: si sabemos hacer las derivadas e integrales m\u00e1s b\u00e1sicas ya estaremos preparados para enfrentarnos a la tarea que tenemos entre manos: mostrar que las ecuaciones de nuestras cuatro ‘criaturas cinem\u00e1ticas’ se pueden encontrar partiendo s\u00f3lo de estas dos ecuaciones. Antes de empezar, me gustar\u00eda enfatizar que no estoy abogando porque deduzc\u00e1is siempre las ecuaciones cada vez que las necesit\u00e9is. De cara a un examen, por ejemplo, conviene aprender algunas ecuaciones espec\u00edficas de cada movimiento (solo algunas), o correr\u00e9is el riesgo de que la nota se empobrezca por falta de tiempo. Pero es muy aconsejable hacer este ejercicio en alg\u00fan momento, pues da mucha tranquilidad mental y aplomo en el c\u00e1lculo cuando uno sabe de d\u00f3nde viene la ecuaci\u00f3n que est\u00e1 utilizando. Sin m\u00e1s dilaci\u00f3n, vayamos dominando a cada una de nuestras criaturas.<\/p>\n\n\n\n

Movimiento rectil\u00edneo uniforme
<\/strong>Este movimiento se define con una \u00fanica caracter\u00edstica: es de velocidad constante. Notad que no hace falta decir que es rectil\u00edneo, pues la velocidad es un vector, y si es un vector constante, lo ser\u00e1 tanto en m\u00f3dulo como en direcci\u00f3n y sentido. Por lo tanto, que la velocidad sea un vector constante ya implica que el movimiento sea rectil\u00edneo. Utilizando la definici\u00f3n de velocidad, ecuaci\u00f3n (1), podemos operar como se muestra a continuaci\u00f3n \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{v}} = \\frac{d\\vec{\\boldsymbol{r}}}{dt}
\\ \\rightarrow\\ d\\vec{\\boldsymbol{r}} = \\vec{\\boldsymbol{v}}dt
\\ \\rightarrow\\ \\int_{\\vec{\\boldsymbol{r}}_0}^{\\vec{\\boldsymbol{r}}}d\\vec{\\boldsymbol{r}} = \\int_0^t\\vec{\\boldsymbol{v}}dt
\\ \\rightarrow
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{r}} = \\vec{\\boldsymbol{r}}_0 + \\vec{\\boldsymbol{v}}t. \\ \\ \\ \\ \\ (3)
\\label{pos_MRU}
\\end{eqnarray} <\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n obtenida es la f\u00f3rmula de la posici\u00f3n del movimiento rectil\u00edneo uniforme.Si te genera dudas hacer integrales de vectores, puedes plantear y resolver la ecuaci\u00f3n para cada componente del vector. Por ejemplo, en el eje x habr\u00eda que resolver $v_x = dx\/dt$. Si aplicamos la definici\u00f3n de la aceleraci\u00f3n, ecuaci\u00f3n (2), dado que $\\vec{\\boldsymbol{v}}$ no var\u00eda con el tiempo, se obtendr\u00e1 que la aceleraci\u00f3n es nula: \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{a}} = \\frac{d\\vec{\\boldsymbol{v}}}{dt} = \\vec{\\boldsymbol{0}}.
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

Movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado
<\/strong>Este se define como un movimiento de aceleraci\u00f3n constante y es rectil\u00edneo. En este caso, s\u00ed que hace falta especificar que es rectil\u00edneo, porque una aceleraci\u00f3n constante no lo asegura. Por ejemplo, si la velocidad inicial de un objeto no es paralela a la aceleraci\u00f3n que tiene, esta cambiar\u00e1 la direcci\u00f3n de la velocidad y, por lo tanto, el movimiento no ser\u00e1 rectil\u00edneo. As\u00ed pues, la definici\u00f3n del movimiento implica que el vector $\\vec{\\boldsymbol{a}}$ no cambie con el tiempo y que la velocidad inicial $\\vec{\\boldsymbol{v}}_0$ tenga la misma direcci\u00f3n que $\\vec{\\boldsymbol{a}}$. Utilizando la definici\u00f3n de aceleraci\u00f3n, ecuaci\u00f3n (2), podemos operar como se muestra a continuaci\u00f3n \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{v}} = \\frac{d\\vec{\\boldsymbol{r}}}{dt} \\ \\rightarrow \\
d\\vec{\\boldsymbol{r}} = \\vec{\\boldsymbol{v}} dt \\ \\rightarrow \\
\\int_{\\vec{\\boldsymbol{r}}_0}^{\\vec{\\boldsymbol{r}}}d\\vec{\\boldsymbol{r}} = \\int_0^t\\vec{\\boldsymbol{v}} dt
\\ \\rightarrow
\\vec{\\boldsymbol{r}} \\ – \\ \\vec{\\boldsymbol{r}}_0 = \\int_0^t\\left(\\vec{\\boldsymbol{v}}_0 + \\vec{\\boldsymbol{a}}t\\right) dt
\\ \\rightarrow
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{r}} = \\vec{\\boldsymbol{r}}_0 + \\vec{\\boldsymbol{v}}_0t + \\frac{1}{2}\\vec{\\boldsymbol{a}}t^2.
\\end{eqnarray} <\/p>\n\n\n\n

Como vemos, la posici\u00f3n de este movimiento tiene la misma ecuaci\u00f3n que la obtenida para el MRU, ecuaci\u00f3n (3), pero con un t\u00e9rmino extra que depende de $t^2$. Si analizamos ambas ecuaciones bas\u00e1ndonos en su dependencia con el tiempo, la del MRU ser\u00eda una recta, mientras que la del MRUA ser\u00eda una par\u00e1bola.<\/p>\n\n\n\n

En cuanto a la velocidad, dado que la aceleraci\u00f3n es constante, utilizando la ecuaci\u00f3n (2)
se obtiene:
\\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{a}} = \\frac{d\\vec{\\boldsymbol{v}}}{dt} \\ \\rightarrow\\ \\ d\\vec{\\boldsymbol{v}} = \\vec{\\boldsymbol{a}} dt
\\ \\rightarrow\\ \\ \\int_{\\vec{v}_0}^{\\vec{v}}d\\vec{\\boldsymbol{v}} = \\int_0^t \\vec{\\boldsymbol{a}} dt \\ \\rightarrow\\ \\
\\vec{\\boldsymbol{v}} = \\vec{\\boldsymbol{v}}_0 + \\vec{\\boldsymbol{a}} t.
\\end{eqnarray}
N\u00f3tese que esta ecuaci\u00f3n se podr\u00eda haber conseguido tambi\u00e9n, bas\u00e1ndonos en la ecuaci\u00f3n (1), derivando la ecuaci\u00f3n de $\\vec{\\boldsymbol{r}}$ respecto del tiempo.<\/p>\n\n\n\n

Movimiento circular uniforme
<\/strong>Lo que caracteriza a este movimiento es una trayectoria circular, y que en intervalos de tiempo iguales recorre \u00e1ngulos iguales. Si llamamos $\\theta$ al \u00e1ngulo del vector posici\u00f3n $\\vec{\\boldsymbol{r}}$, tendremos la situaci\u00f3n que muestra la figura.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

El rect\u00e1ngulo azul se encuentra haciendo un movimimiento circular uniforme.<\/p>\n\n\n\n

La posici\u00f3n del cuerpo que hace el movimiento circular uniforme se puede obtener utilizando el seno y el coseno del \u00e1ngulo $\\theta$, obteniendo \\begin{eqnarray}
x &=& R\\cos\\theta,
\\nonumber\\
y &=& R\\sin\\theta, \\ \\ \\ \\ \\ (4)
\\label{r_MCU}
\\end{eqnarray} siendo $R$ el radio de la trayectoria circular. El vector de posici\u00f3n ser\u00eda $\\vec{\\boldsymbol{r}} = (x,y)$. Teniendo la posici\u00f3n, s\u00f3lo tendr\u00edamos que derivarla respecto del tiempo para obtener la velocidad. Pero $\\vec{\\boldsymbol{r}}$ no est\u00e1 escrita en funci\u00f3n del tiempo y sabemos que el \u00e1ngulo $\\theta$ var\u00eda con el tiempo. Tendremos, por tanto, que determinar c\u00f3mo es la dependencia del \u00e1ngulo $\\theta$ con el tiempo. En este movimiento, se define habitualmente una velocidad angular $\\omega$ que nos dice cu\u00e1nto \u00e1ngulo avanza el m\u00f3vil por unidad de tiempo. Esta cantidad se define como la cantidad de \u00e1ngulo que avanza por unidad de tiempo, que en un momento dado ser\u00e1 \\begin{eqnarray}
\\omega = \\frac{d\\theta}{dt}. \\ \\ \\ \\ \\ (5)
\\label{omega_def}
\\end{eqnarray} que el m\u00f3vil recorre \u00e1ngulos iguales en tiempos iguales, la velocidad angular no variar\u00e1 en el tiempo, por lo que podemos deducir c\u00f3mo es la dependencia de $\\theta$ en funci\u00f3n de $\\omega$ \\begin{eqnarray}
d\\theta = \\omega dt \\ \\rightarrow \\ \\int_{\\theta_0}^{\\theta} d\\theta = \\int_0^t \\omega t \\
\\rightarrow \\ \\theta = \\theta_0 + \\omega t.
\\end{eqnarray}Ahora ya se puede escribir la posici\u00f3n en funci\u00f3n del tiempo, sustituyendo $\\theta$ en las ecuaciones (4): \\begin{eqnarray}
x &=& R\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right),
\\nonumber\\
y &=& R\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right)
\\label{pos_MCU}
\\end{eqnarray} y podemos derivarla respecto del tiempo para obtener la velocidad (ver ecuaci\u00f3n (1)) \\begin{eqnarray}
v_x &=& \\frac{dx}{dt} = \\frac{d\\left(R\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right)\\right)}{dt} =
-R\\omega\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right) = -\\omega y,
\\nonumber\\\\
v_y &=& \\frac{dy}{dt} = \\frac{d\\left(R\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right)\\right)}{dt} =
R\\omega\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right) = \\omega x,
\\end{eqnarray}en donde hemos utilizado las expresiones de $x$ e $y$ de la ecuaci\u00f3n (4). N\u00f3tese que el vector velocidad queda entonces como \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{v}} = (- \\omega y, \\omega x) = \\omega (-y, x).
\\end{eqnarray}Lo primero que se puede deducir es que el vector $\\vec{\\boldsymbol{v}}$ es siempre perpendicular al vector de posici\u00f3n $\\vec{\\boldsymbol{r}} = (x,y)$, pues el producto escalar de ambos es nulo: \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{v}}\\cdot \\vec{\\boldsymbol{r}} = \\omega (-y, x) \\cdot (x,y) = 0.
\\end{eqnarray} Lo segundo, es que si calculamos el m\u00f3dulo de $\\vec{\\boldsymbol{v}}$ obtenemos \\begin{eqnarray}
v = \\omega \\sqrt{y^2 + x^2} = \\omega R,
\\end{eqnarray} que relaciona el m\u00f3dulo de la velocidad con la velocidad angular.
Si volvemos a derivar la velocidad respecto del tiempo, se obtiene la aceleraci\u00f3n del movimiento \\begin{eqnarray}
a_x &=& \\frac{dv_x}{dt} = \\frac{d\\left(-R\\omega\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right)\\right)}{dt} =
-R\\omega^2\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right) = -\\omega^2 x,
\\nonumber\\\\
a_y &=& \\frac{dv_y}{dt} = \\frac{d\\left(R\\omega\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right)\\right)}{dt} =
-R\\omega^2\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega t\\right) = \\omega^2 y,
\\end{eqnarray} donde, de nuevo, hemos utilizado las ecuaciones (4). As\u00ed pues, el vector aceleraci\u00f3n es \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{a}} = -\\omega^2(x,y) = -\\omega^2 \\vec{\\boldsymbol{r}}.
\\end{eqnarray} Podemos ver que el vector de aceleraci\u00f3n es paralelo al vector de posici\u00f3n pero de sentido contrario. es decir, siempre apunta hacia el centro de la circunferencia de la trayectoria. Dado que dicha direcci\u00f3n es siempre normal a la trayectoria del m\u00f3vil, que es tangente a la circunferencia, a esta aceleraci\u00f3n se le llama aceleraci\u00f3n normal. Si escribimos el m\u00f3dulo de la aceleraci\u00f3n, y lo hacemos en funci\u00f3n de $v$ en lugar de $\\omega$, se llega a la ecuaci\u00f3n habitual de la aceleraci\u00f3n normal: $a = v^2\/R$.<\/p>\n\n\n\n

Movimiento circular uniformemente acelerado
<\/strong>Para describir este movimiento conviene introducir una nueva cantidad que se denomina aceleraci\u00f3n angular, y que viene dada por el cambio de velocidad angular con el tiempo \\begin{eqnarray}
\\alpha = \\frac{d\\omega}{dt}. \\ \\ \\ \\ \\ (6)
\\label{alpha_def}
\\end{eqnarray}El movimiento circular uniformemente acelerado tiene como caracter\u00edstica que el cuerpo que se mueve sigue una trayectoria circular, y que su aceleraci\u00f3n angular es constante. Como en el caso del movimiento circular uniforme, la posici\u00f3n del cuerpo viene dada por \\begin{eqnarray}
x &=& R\\cos\\theta,
\\nonumber\\
y &=& R\\sin\\theta,
\\end{eqnarray} donde $R$ es el radio de la trayectoria circular y el \u00e1ngulo $\\theta$ va cambiando con el tiempo. Para saber c\u00f3mo lo hace, calcularemos primero la velocidad angular a partir de la definici\u00f3n que hemos hecho de la aceleraci\u00f3n angular en la ecuaci\u00f3n (6): \\begin{eqnarray}
\\alpha = \\frac{d\\omega}{dt} \\ \\rightarrow \\ d\\omega = \\alpha dt \\ \\rightarrow
\\int_{\\omega_0}^\\omega d\\omega = \\int_0^t \\alpha dt \\ \\rightarrow \\ \\omega = \\omega_0 + \\alpha t, \\ \\ \\ \\ \\ (7)
\\label{omega_MCUA}
\\end{eqnarray} y ahora, utilizando la definici\u00f3n que hicimos de la velocidad angular, ecuaci\u00f3n (5), podemos calcular el \u00e1ngulo $\\theta$ en funci\u00f3n del tiempo
\\begin{eqnarray}
\\omega = \\frac{d\\theta}{dt} \\ \\rightarrow \\
d\\theta = \\omega dt \\ \\rightarrow \\ d\\theta = \\left( \\omega_0 + \\alpha t\\right) dt \\ \\rightarrow
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

\\begin{eqnarray}
\\int_{\\theta_0}^\\theta d\\theta = \\int_0^t\\left( \\omega_0 + \\alpha t\\right) dt \\ \\rightarrow \\
\\theta = \\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2.
\\end{eqnarray} <\/p>\n\n\n\n

As\u00ed pues, las componentes de la posici\u00f3n del cuerpo en el movimiento circular uniformemente acelerado son \\begin{eqnarray}
x &=& R\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right),
\\nonumber\\\\
y &=& R\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right). \\ \\ \\ \\ \\ (8)
\\label{x-y_MCUA}
\\end{eqnarray} Ya tenemos la posici\u00f3n, $\\vec{\\boldsymbol{r}} = (x,y)$, por lo que solo tendremos que derivarla respecto del tiempo para obtener la velocidad \\begin{eqnarray}
v_x &=& \\frac{dx}{dt} = -R\\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right)\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right)
= -\\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right) y,
\\nonumber\\\\
v_y &=& \\frac{dy}{dt} = R\\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right)\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right)
= \\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right) x,
\\end{eqnarray} donde hemos sustituido las componentes $x$ e $y$. El vector velocidad puede escribirse entonces como \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{v}} = \\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right)(-y,x)
\\end{eqnarray} que, como antes, es un vector perpendicular a la posici\u00f3n, pues el producto escalar $\\vec{\\boldsymbol{r}}\\cdot \\vec{\\boldsymbol{v}}$ es nulo. Teniendo en cuenta la ecuaci\u00f3n (7) de la velocidad angular, el m\u00f3dulo de la velocidad se puede escribir como \\begin{eqnarray}
v = \\omega\\sqrt{y^2 + x^2} = \\omega R,
\\end{eqnarray} que nos da la relaci\u00f3n entre la velocidad lineal y la angular. Si derivamos ahora la velocidad respecto del tiempo, obtenemos la aceleraci\u00f3n \\begin{eqnarray}
a_x &=& \\frac{dv_x}{dt} = -R\\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right)^2\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right) –
R\\alpha\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right),
\\nonumber\\\\
a_y &=& \\frac{dv_y}{dt} = -R\\left(\\omega_0 + \\alpha t\\right)^2\\sin\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right) +
R \\alpha\\cos\\left(\\theta_0 + \\omega_0 t + \\frac{1}{2}\\alpha t^2\\right).
\\end{eqnarray} Utilizando de nuevo la ecuaci\u00f3n (7) de la velocidad angular, y las ecuaciones (8) de $x$ e $y$, la aceleraci\u00f3n queda como sigue: \\begin{eqnarray}
a_x &=& \\frac{dv_x}{dt} = -\\omega^2 x – \\alpha y,
\\nonumber\\
a_y &=& \\frac{dv_y}{dt} = -\\omega^2y + \\alpha x.
\\end{eqnarray} Es decir, el vector aceleraci\u00f3n se podr\u00e1 escribir como\\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{a}} &=& -\\omega^2(x,y) + \\alpha (-y,x).
\\end{eqnarray}El primer t\u00e9rmino corresponde a la fuerza normal que ya vimos en el movimiento circular uniforme: es un vector dirigido hacia el centro del c\u00edrculo, pues es paralelo a $(x,y)$ pero de sentido negativo. Si en lugar de escribirlo en funci\u00f3n de $\\omega$, lo escribimos en funci\u00f3n de $v$, el modulo de esta aceleraci\u00f3n ser\u00e1 la expresi\u00f3n que habitualmente se ense\u00f1a de la aceleraci\u00f3n normal \\begin{eqnarray}
a_n = \\frac{v^2}{R}.
\\end{eqnarray} El segundo t\u00e9rmino es perpendicular al vector de posici\u00f3n, y de hecho, es paralelo a la velocidad, pues ambos son proporcionales a $(-y,x)$ y con el mismo signo. Es la que se denomina aceleraci\u00f3n tangencial. Su m\u00f3dulo ser\u00e1 \\begin{eqnarray}
a_t = \\alpha\\sqrt{y^2+x^2} = \\alpha R.
\\end{eqnarray}N\u00f3tese que la aceleraci\u00f3n total se puede escribir entonces como \\begin{eqnarray}
\\vec{\\boldsymbol{a}} = \\vec{\\boldsymbol{a}}_n + \\vec{\\boldsymbol{a}}_t,
\\end{eqnarray}y como la aceleraci\u00f3n normal y la tangencial son vectores perpendiculares, su m\u00f3dulo ser\u00e1 \\begin{eqnarray}
a = \\sqrt{a_n^2 + a_t^2}.
\\end{eqnarray}<\/p>\n\n\n\n

Conclusi\u00f3n<\/strong>
Si hab\u00e9is llegado hasta aqu\u00ed y no hab\u00e9is hecho todos los c\u00e1lculos (algo comprensible, porque te tiene que pillar con ganas, boli y papel), siempre podr\u00e9is regresar para completar vuestra iniciaci\u00f3n cinem\u00e1tica cuando mejor os convenga. Y si hab\u00e9is hecho los c\u00e1lculos, cuando os enfrent\u00e9is a cualquier criatura cinem\u00e1tica, en lugar de decir ‘huid insensatos’, ahora podr\u00e9is decir con tranquilidad ‘cuenta con mis dos ecuaciones’. <\/p>\n\n\n\n

PD: por si alguien se ha perdido con algunas referencias, corresponden a las pel\u00edculas de El Se\u00f1or de los Anillos.<\/p>\n\n\n\n

Autor: Adolfo V\u00e1zquez Quesada<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Adolfo V\u00e1zquez Quesada es profesor del Departamento de F\u00edsica Fundamental de la UNED.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Autor: Adolfo V\u00e1zquez Quesada. La cinem\u00e1tica es la rama de la f\u00edsica que se dedica a estudiar el movimiento de los objetos. Normalmente es el primer cap\u00edtulo en pr\u00e1cticamente todos los cursos de f\u00edsica general, pues lo interesante de los Seguir leyendo →<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1199,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[71],"tags":[69,81],"class_list":["post-1135","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-blog-uned-es","tag-cinematica","tag-didactica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1135","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1135"}],"version-history":[{"count":71,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1135\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4995,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1135\/revisions\/4995"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1199"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1135"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1135"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.uned.es\/hablandodefisicauned\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1135"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}